23. Диференціал
В математичному аналізі диференціал традиційно вважається нескінченно малим приростом змінної. Наприклад, якщо x – змінна, тоді приріст значення x часто позначається Δx (чи δx, якщо цей приріст малий). Диференціал dx також є таким приростом, але нескінченно малим. Варто зазначити, що таке визначення не є математично строгим, але воно зручне для розуміння, також існує багато способів зробити визначення математично точнішим.
Головна властивість диференціалу: якщо y функція від x, тоді диференціал dy від y пов’язаний з dx формулою:
де dy/dx позначає похідну від y по змінній x. Ця формула підсумовує інтуїтивне твердження, що похідна y по змінній x це границя відношення приростів Δy/Δx де Δx прямує до нуля.
Є кілька підходів для більш математично строгого визначення:
Диференціал як лінійне відображення. Цей підхід є основою визначення повної похідної і зовнішньої похідної вдиференціальній геометрії.[1]
Диференціал як нільпотентний елемент в комутативних кільцях. Такий підхід популярний в алгебраїчній геометрії.[2]
Ці підходи дуже різні, але їх об'єднує ідея кількісного, тобто важливо сказати, що диференціал не тільки нескінченно малий, а наскільки саме він малий.
24. Похідні старших порядків.
Поняття похідної довільного порядку задається рекурентно:
похідна нульового порядку — сама функція
похідна n-го порядку для натурального n, що більше 0, — похідна похідної (n−1)-го порядку
Іноді замість «похідна n-го порядку» говорять «n-а похідна».
Похідна n-го порядку функції f зазвичай позначається як f(n)(x)
якщо n мале (1, 2, 3) — то використовується відповідна кількість рисок, f′(x), f′′(x), f′′′(x), вимовляється як «еф-штрих від ікс»; про другу — «еф-два-штрихи від ікс».
Можна зустріти історичне позначення похідної за допомогою римської системи числення (перша похідна: f′(x), друга: fII(x), шістнадцята: fXVI(x)).
В фізиці також зустрічається позначення похідної другого порядку по часу у вигляді двох крапок над змінною:
.
25. Первісна функції. Невизначений інтеграл.
Функція 
зветься первісною функції 
на
деякому інтервалі дійсних
чисел,
якщо
— похідна функції
на
цьому інтервалі, тобто в усіх внутрішніх
точках інтервалу виконується рівність
Можна довести, що у будь-якої неперервної на інтервалі функції існує первісна, яка також є неперервною функцією на цьому інтервалі.
Якщо
—
будь-яка первісна функція 
то 
,
де C - довільна стала, — також первісна
цієї функції і "невизначений інтеграл
функції
"
посилається до множини 
яка
складається з усіх первісних
функції
де 
—
довільна константа.
Множина всіх первісних заданої функції на заданому проміжку називаєтьсяневизначеним інтегралом. Функція називається підінтегральною функцією, аргумент функції називається змінною інтегрування.
Дія знаходження невизначеного інтеграла називається невизначеним інтегруванням. Невизначене інтегрування є дією, оберненою до диференціювання.
За допомогою диференціювання ми за даною функцією знаходимо її похідну, а за допомогою невизначеного інтегрування ми за даною похідною функції знаходимо первісну функції.