15. Обчислення границь.

Сформулюємо перше правило обчислення границь:

- підставити у вираз граничне значення х. Якщо отримане скінченне

число, границя знайдена.

Зауваження. Не завжди можна під знак границі підставляти граничне

значення аргументу. Такі функції, для яких це можна робити, називаються

неперервними і будуть розглянуті далі.

Підставляючи х = 2 у вираз, дістанемо 0,що ділиться на 0.

Таку ситуацію називають невизначеністю, оскільки після знаходження границь чисельника і знаменника обидві дорівнюють нулю, а границя усього виразу може бути як конкретним числом, так і нескінченністю, або взагалі може не існувати. Знайти подібну границю означає розкрити невизначеність.

Є інші види невизначеностей: наприклад, безкінечність на безкінечність.

Друге правило обчислення границь:

У виразі під знаком границі можна виконувати будь-які спрощення,

що не суперечать правилам алгебри.

Третє правило обчислення границь:

У виразі під знаком границі замість будь-якої функції можна підста-

вляти еквівалентну їй іншу функцію.

16. Неперервність.

Неперервність функції у точці

Визначення 2.1. Функція f(х) називається неперервною в точціх = х0, якщо:

1) функція визначена в точці х0 і в деякому її околі, тобто існує значення f(х0);

2) існує границя lim дельта х = 0. ( х прямує до х0)

3) і ця границя дорівнює A= ф(х0)

Визначення 2.2. Функція f(х) називається неперервною в точці х0,

якщо:

1. функція визначена в точці х0 і в деякому її околі;

2. існує границя приросту функції, коли ∆х → 0 (приріст аргументу

прямує до нуля): lim дельта у ( дельта х прямує до 0)

3) і ця границя дорівнює нулю:

.

17. Похідна́ — основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границявідношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує). Функцію, що має скінченну похідну, називають диференційовною.

Геометричний зміст похідної

Значення похідної   функції   у точці   дорівнює значенню кутового кофіціента дотичної до кривої   у точці з абсцисою  .

Рівняння дотичної до кривої   у точці M( ) має вигляд:

Фізичний зміст похідної

Похідна від шляху за часом дорівнює миттєвій швидкості руху матеріальної точки.

18. Похідні від простих функцій

, де   та   - визначені

Зокрема:

]Похідні від експоненціальних і логарифмічних функцій

]Похідні від тригонометричних функцій

Похідні від гіперболічних функцій

Нехай ƒ – функція дійсних чисел. В класичній геометрії, дотична до графіка функції ƒ для дійсного числа a була єдина лінія через точку (a, ƒ(a)), що не перетинається з графіком функції ƒ трансверсально, це означає що ця лінія не проходить крізь графік. Похідна функції y по змінній x в точці a, з геометричної точки зору, це нахил дотичної лінії до графіка функції ƒ в точці a. Нахил дотичної дуже близький до нахилу лінії, що проходить крізь точку (a, ƒ(a)) та іншу близьку точку на графіку, наприклад(a + h, ƒ(a + h)). Такі лінії називаються січними. Значення h близьке до нуля дає добре наближення для нахилу дотичної, а чим менше значення h, в загальному випадку, тим краще буде наближення. Нахил m січної лінії дорівнює різниці значень y для цих точок поділити на різницю значень x, тобто

Цей вираз — це відношення приростів Ісаака Ньютона. Похідна — це значення відношення приростів у випадку коли січні лінії наближаються до дотичної. Строго кажучи, похідна функції ƒ в точці a це границя:

відношення приростів коли h наближається до нуля, якщо така границя існує. Якщо границя існує тоді ƒ – диференційована в точці a. Тут ƒ′ (a) одне з кількох можливих позначень похідної (див. нижче)

Запишемо еквівалентний вираз, для похідної справедлива рівність

що також піддається інтуїтивному розумінню (див. рис.1), де дотична лінія ƒ в точці a дає найкраще лінійне наближення

для ƒ біля точки a (наприклад, для малих h). Якщо підставити 0 замість h у відношеня приростів то отримаємо ділення на нуль, отже нахил дотичної лінії не можна обчислити таким способом. Натомість запишемо Q(h), відношення приростів як функцію від h:

Q(h) – це нахил січної лінії між точками (a, ƒ(a)) and (a + h, ƒ(a + h)). Якщо ƒ – неперервна функція, тобто якщо графік функції немає розривів, тоді Q також непервна функція починаючи з точки h = 0. Якщо існує границя  , тобто якщо існує спосіб обчислити значення для Q(0), це означає що графік функції Q неперервний, тоді функціяƒ диференційована в точці a, і її похідна в точці a дорівнює Q(0).

На практиці, існування непервного продовження відношення приростів Q(h) в точці h = 0 показують по-іншому: міняють чисельник таким чином щоб скоротити h у знаменнику. Цей прроцес може бути довгим та нудним для складних функцій, тож в таких випадках використовують багато спрощень.