12. Числова послідовність. Границя числової послідовності.

Числова послідовність — послідовність (математика) дійсних чисел, тобто відображення, яке кожному натуральному числу n ставить у відповідність дійсне число . Число називають елементом або членом послідовності.

Послідовною називають функцію,яка задана на множині всіх або перших n натуральних чисел. Числа, які утворюють послідовність називають членами послідовності. Якщо послідовність має скінченне число членів, то її називають скінченною послідовністю. Якщо послідовність має нескінченне число членів, то її називають нескінченною послідовністю, а у записі це показують трьома крапками після останнього записаного члена послідовності.

У загальному випадку члени послідовності, як правило, позначають малими буквами з індексами внизу.Кожний індекс вказує порядковий номер члена послідовності.

Щоб задати послідовність, потрібно вказати спосіб, за допомогою якого можна знайти будь-який його член.

Послідовність можна задати описом знаходження її членів.

Скінчену послідовність можна задати переліком її членів.

Послідовність можна задати таблицею, у якій навпроти кожного члена послідовності вказують його порядковий номер.

Послідовність можна задати формулою, за якою можна знайти будь-який член послідовності, знаючи його номер.

Спочатку вказати перший або кілька перших членів послідовності, а потім - умову, за якою можна визначити будь-який член послідовності за попереднім. Такий спосіб задання послідовності називають рекурентним.

Границя числової послідовності — фундаментальне поняття математичного аналізу, число, до якого члени послідовності прямують зі збільшенням індекса в сенсі наступного означення:

Дійсне число a називається границею числової послідовності , якщо

Позначення: або

При цьому також кажуть, що послідовність збігається до числа a, або має границю a. Послідовність, що збігається до деякої границі називається збіжною, в інших випадках — розбіжною.

13. Число е. Значення деяких границь числових послідовностей

Число е — фундаментальна математична константа, математична величина, що є основою натуральних логарифмів. Іноді число e називають числом Ейлера або числом Непера. Відіграє важливу роль у диференціальному й інтегральному численні, а також багатьох інших розділах математики.

Числова послідовність   називається нескінченно малою, якщо

 

Числова послідовність  називається нескінченно великою, якщо

 

Конспект з вишки за 3.09.2011

14. Границя функції. Властивості границі функції в точці

Число (точка хo) називається граничною точкою множини х, якщо до кожного околу цієї точки попаде безліч точок множини х (або хоча б одна точка з множини х відмінна від 0).

Нехай f(x)- задана на множині х, для якої х0 – гранична точка, тоді число А називається границею функції f(x), в точці х0.

Границя суми

Границя суми скінченого числа функцій дорівнює сумі границь доданків (якщо кожна з них існує) 

Границя добутку

Границя добутку скінченого числа функцій дорівнює добутку границь множників (якщо кожна з них існує)    Звідси - наступні дві властивості.

Границя добутку функції на константу

Постійний множник можна винести за знак границі 

Границя функції в натуральному ступені

Границя функції в натуральному ступені дорівнює натуральному ступеню від границі функції 

Границя відношення (дробу)

Границя відношення функцій дорівнює відношенню границь (якщо кожна з них існує і при цьому границя знаменника не дорівнює нулю) 

приклад перетворення границі

Спочатку границю відношення розглядаємо як відношення границь, потім кожну границю суми розглядаємо як суму границь і т.д.