34.Криві другого порядку. Рівняння кола.

Лінія другого порядку – це множина точок, координати яких задовольняють рівняння вигляду

де – дійсні числа, причому хоча б одне з чисел відмінне від нуля. Зокрема, до ліній другого порядку належать такі лінії: коло, еліпс, гіпербола і парабола. Лінії другого порядку називають також конічними перетинами через те, що їх можна дістати як лінії перетину кругового конуса з площиною

Алгебраїчне означення

Коло радіуса r = 1, з центром (a, b) = (1.2, -0.5)

Коло на площині, даного радіуса , у певній вибраній декартовій системі координат і , з центром в точці (a, b) описується стандартним рівнянням:

Це рівняння випливає з теореми Піфагора, при її застовуванні до кожної точки кола, як показано на рисунку справа, де радіус це гіпотенуза прямокутного трикутника, катети якого x − a та y − b. Якщо центр кола знаходиться в початку координат (0, 0), тоді рівняння спрощується до такого вигляду:

Загальне рівняння кола:

Якщо відомі координати трьох точок на площині і , то рівняння кола, яке проходить через ці точки можна записати через визначник:

35. Еліпс. Вивід канонічного рівняння еліпса, ексцентриситет та директриси еліпса.

Найпростіші властивості еліпса

Властивість 1. Еліпс має що найменше дві осі симетрії і центр симетрії. Зауваження. Можна показати, що еліпс, який не є колом має рівно дві осі симетрії.

 Властивість 2. Еліпс перетинає осі симетрії у чотирьох точках.

Означення. Точки перетину еліпса з осями симетрії називаються вершинами еліпса.

Властивість 3. Еліпс є обмеженою фігурою, він міститься у прямокутнику зі сторонами  і .

Отриманої інформації достатньо, щоб зобразити еліпс у канонічній системі координат, користуючись його властивостями. У I чверті дуга еліпса визначається рівнянням , тобто є графіком деякої функції

Скористувавшись наявністю двох осей симетрії, побудуємо увесь еліпс (рис. 20 і рис. 21). Параметри  і  називають півосями ( ‑ більшою,  ‑ меншою). Вони дорівнюють половинам відстаней між відповідними протилежними вершинами еліпса. Форму еліпса характеризує параметр . Він є коефіцієнтом стиснення кола, з якого можна отримати еліпс шляхом стиснення або розтягування. Більш зручним у дослідженнях є параметр . Він називається ексцентриситетом еліпса. Ексцентриситет кола дорівнює 0.

Канонічне рівняння еліпса

Директриса та ексцентриситет

Число це ексцентриситет еліпса, величина, що характеризує його витягнутість; для еліпсу . Прямі, рівняння яких називаються директрисами еліпса; співвідношення відстані від будь-якої точки еліпса до найближчого фокусу до відстані до найближчої директриси стале і дорівнює ексцентриситету.

36. Гіпербола . Вивід канонічного рівняня гіперболи, ексцентриситет , директриси та асимптоти гіперболи. Найпростіші властивості гіперболи

Властивість 1. Гіпербола має щонайменше дві осі симетрії і центр симетрії.

Властивість 2. Гіпербола перетинає одну з осей симетрії в двох точках, які називаються вершинами; з другою віссю симетрії гіпербола не перетинається.

Властивість 3. Гіпербола має асимптоти, тобто прямі, до яких гіпербола необмежено наближається.

Канонічне рівняння гіперболи.

Гіпербола є невиродженою кривою другого порядку, яка задається рівнянням

Нехай канонічне рівняння кривої другого порядку шляхом переносу центру координат перетворено у вигляд:

В цьому випадку крива проходить через початок координат нової системи; вісь абсцис є віссю симетрії кривої. Це рівняння відображає той факт, що невироджена крива другого порядку є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких (ексцентриситет) від заданої точки (фокуса) та від заданої прямої (директриса) незмінна. Крива є гіперболою, якщо Директоріальна властивість гіперболи полягає в тому, що гіпербола є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких від фокуса до одноіменної директриси дорівнює .

Ексцентриситет (позначається лат. e або грец. ε) — числова характеристика конічного перерізу, яка показує ступінь його відхилення від кола

Параметр  називається ексцентриситетом. Він характеризує форму гіперболи.

Асимпто́та криво́ї (грец. ασυμπτωτος — що не збігається, не дотикається) — це пряма, до якої крива при видаленні в нескінченність наближається як завгодно близько.

Якщо крива, задана рівнянням y = f(x), віддаляється в нескінченність при наближення x до скінченної точки a, то пряма x = a називається вертикальною асимптотою цієї кривої.

Крім вертикальної асимптоти x = 0 гіпербола y = 1/x має ще й горизонтальну асимптоту у = 0, як і графік функції у = е^-x sin(х), проте він, на відміну від гіперболи, перетинає свою горизонтальну асимптоту нескінченну кількість раз (+графік).