27. Геометрические приложения определённого интеграла.
1.Вычесление площадей плоских фигур.
Пусть у=f(x)
– неотрицательна и непрерывна на [а,в],
тогда площадь под кривой у=f(x)
на [а,в] равна: определенному интегралу:
Теорема: пусть
на [а,в] заданы непрерывные функции
у=f1(x),
и у=f2(x)
такие, что f2(x)
f1(x).
Тогда площадь S, фигуры,
заключённой между прямыми у=f1(x)
и у=f2(x)
вычисляется по формуле: S=
2. Вычисление объёмов тел вращениия.
Для решения разобьём (фигуру вращения)на отрезки точками а=X0<X1<X3<Xn=b
На каждом отрезке выберем ξi ,тогда Σni=1П f 2(ξi ) ∆xi ;
Vx=limmax/\xi->i=1 Σni=1Пf2(ξi )
3. Вычисление длины дуги кривой.
S=Sba √1+(f’)2dx , где S –длина дуги кривой у=f/x , заключённой между x=a и х=в
4. Вычисление площади поверхности.
Площадь поверхности , образованной вращением вокруг оси Ох кривой у=f(x), заключённой между точками с абциссами х=а и х=в определяется по формуле :
Sx =2П Sba f√ 1+(f’)2 dx .
28.Применение определенного интеграла в экономических задачах.
29.Понятие числового ряда. Основные св-ва ряда.
Определение: числовой ряд – бесконечная последовательность чисел U1, U2,..Un …,соединённых знаком сложения.
U1+ U2+…+Un +….=Σ n=1 Un = S
Ряд – сходящийся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. Limn-> Sn=S
Свойства:
1) Если ряд U1+ U2+…+Un +… сходится и имеет сумму S , то и ряд λu1 + λu2 + λun +…также сходится и имеет сумму λS.
2)Если ряд U1+ U2+…+Un +… и V1+V2+…Vn+… сходятся и имеют сумму S1 и S2 ,то и ряд (U1+ V1)+(U2+V2)+…( Un+ Vn)+… также сходится и имеет сумму S1+ S2
3)Если ряд сходится ,то сходится и ряд, полученный из данного путям отбрасывания конечного числа членов.
4)Для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно чтобы при n> остаток ряда стремится к нулю. Limn-> in = 0
30.Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
Необходимый: Если ряд сходится ,то предел его общего члена Un при n-> равен нулю . limn-> Un = 0
Если предел общего члена ряда при n-> не равен нулю lim Un ≠0 , то ряд расходится. Но : если lim Un =0 это не значит, что ряд сходится.
Признаки:
1)признак сравнения.
Пусть даны два ряда с полож. член. Σ n=1 Un (1) и Σ n=1 Vn (2), причем члены первого ряда не превосходят членов второго , т.е. при n є R ; Un =< Vn
Тогда 1)если сходится ряд (2) ,то сходится и (1)… 2) если расходятся ряд(1), то расходится и ряд (2).
«Эталонные
ряды»:1. геометрический ряд
сходятся при |q| <1
и расходится при |q|>=1.
2. гармонический
ряд
расходятся.
3. обобщённый гармонический ряд Σ n=1 1/nα = 1+1/2α+ 1/3α+…+1/nα +…
Сходится при α>1 и расходится при α=<1.
2) Предельный признак сравнения
Если Σ n=1 Un и Σ n=1 Vn – ряды с полож. член. И существует конечный предел отношения их общих членов Limn-> Un\Vn = R≠0, то ряды одновременно либо сходятся ,либо расходятся.
3)Признак Даламбера.
,тогда
если L<1,ряд сходится;
L>0,ряд расходится;
L=0-применить другой
признак.
4)признак коши.
Если
L>1-расходится L<1-сходится
L=1-неизвестно.
> Особенности :
1. если Limn-> Un+1/Un = или Limn-> n√Un = , то ряд расходится.
2. если Limn-> Un+1/Un =L=1 или Limn-> n√Un =1, то неизвестно.
5)Интегральный признак сходимости .
Пусть члены ряда
не возрастают, т.е.
существует функция f(x)-определение
при х
-
непрерывная и возрастающая, тогда для
сходимости ряда необходимо и достаточно,
чтобы несоответ.
-сходится.
31.абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Признаки сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов.
Знакочередующийся ряд – ряд, в котором члены попеременно положительны и отрицательны. U1+ U2+U3…+(-1)n-1 Un +… Un>0
Признак Лейбница:
Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U1>U2>U3…>Un > и предел его общего члена при n-> ; Limn-> Un=0, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена S=< U1
Знакопеременные ряды – ряды, в которых каждый член может быть на как положительным, так и отрицательным.
Достаточный
признак сходимости: Если ряд,
составленный из абсолютных величин (1)
сходится, то и сам ряд сходится.
,
Если ряд (1) может сходиться, то ряд (2)
может как сходиться, так и расходиться.
Ряд- абсолютно сходится : Если сходится как сам ряд ,так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Ряд- условно сходится: Если сам ряд сходится, а ряд, сост. Из абсолютных величин его членов расходится.