13. Точки экстремума. Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.

Точка называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство f(x) .

Точка называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство f(x) f( .

Значения функции в точках и называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, т.к. понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки .

Необходимое условие эстремума. Для того, чтобы функция у=f(x) имела экстремум в точке , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала. Однако, критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.

Первое достаточное условие экстремума.Теорема. Если при переходе через точку производная дифференцируемой функции у=f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции у=f(x), а если наоборот, то – точка минимума.

Второе достаточное условие экстремума.Теорема. Если первая производная дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке , а вторая производная в этой точке положительна, то есть точка минимума функции ; если отрицательна, то - точка максимума. Необходимо найти вторую производную и опр.ее знак в каждой критической точке.

14. Выпуклость и точки перегиба функции. Необходимое и достаточное условие перегиба функции.

Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x1 и x2 из этого отрезка выполняется неравенство:

Функция наз.выпуклой вниз на отрезке [a; b ], если для любых точек x1 и x2 из этого отрезка выполняется неравенство:

.

Теорема.

Функция выпукла вниз(вверх) на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает(убывает).

Теорема.

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна(отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция выпукла вниз(вверх) на этом промежутке.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если Необходимое условие наличия точки перегиба. Если -точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то

Достаточное условие перегиба.

Если вторая производная дважды дифф.функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то есть точка перегиба ее графика. Если критическая точка не явл.точкой экстремума, то она есть точка перегиба.

15. Нахождение асимптот функции.

Асимптота графика – прямая обладающая такими свойствами, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Теорема 1.

Пусть функция у=f(x) определенна в некоторой окрестности точки х₀ и хотя бы один из пределов функции при х х₀-0 (слева) или при х х₀+0 (справа) равен бесконечности , т.е.

Тогда прямая х=х₀ яв-ся вертикальной асимптотой графика функции у=f(x)

Вертикальные асимптоты х=х₀ следует искать в точках разрыва функции у=f(x) или на концах ее области определения (а, в), если а и в – конечные числа.

Элементарная функция, определяется на всей числовой прямой, не может иметь вертикальных асимптот.

Теорема 2.

Пусть функция у=f(x) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции есть горизонтальная асимптота графика функции у=f(x)

Теорема 3.

Пусть функция у=f(x) определена при достаточно больших х, и существует ее конечные пределы

Тогда прямая у=kx+b – наклонная асимптота графика функции у=f(x)