1. Определение n-мерного вектора. Свойства операция над векторами

N-мерным вектором называется последовательность   чисел. Эти числа называются координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора.

Умножение вектора на число

Любой n-мерный вектор А можно умножить на любое число λ, при этом все его координаты умножаются на это число: λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)

Пример: A=(1,2,3); λ=2; A*λ=(1*2,2*2,3*2)=(2,4,6)

Сложение векторов

Два вектора одинаковой размерности можно сложить, при этом их соответствующие координаты складываются:

Свойства линейных операций:

• А + В = В + А

• (А + В) + С = А+(В + С)

• λ(А + В) = λА + λВ

• (λ+ μ)А = λА + μ А

• λ(μ А) = (λμ)А

Пример: 

2. Определение скалярного произведения. Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов   и   называется величина, вычисляемая по формуле:

Свойства произведения:

• 

• 

• λ(A*B)=λ*A*B

Пример: 

3. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника (док-во)

Неравенство Коши-Буняклвского: |AB| =<|A||B|

Неравенство треугольника: |A+B|=<|A|+|B|

Доказательство: Так как AB=<|AB| и ||AB|=<|A||B|. Теперь используя полученные неравенства, имеем |A+B|^2=(A+B)^2=A^2+2AB+B^2=<|A|^2+2|A||B|+|B|^2=(|A|+|B|)^2, т.е. |A+B|^2=<(|A|+|B|)^2. Отсюда |A+B|=<|A|+|B|

4. Угол между n-мерными векторам. Теорема о равенстве векторов

Угол между векторами

Теорема: Ненулевые n-мерные вектора A и B равны, когда угол φ между ними равен 0 и |A| и |B| равны.

Док-во: A=B (*A)=> AA=AB(при этом A=B) => AA=BB => √(AA)=√(BB) => |A|=|B|

Cos(A,B)=AB/|A||B|( при этом A=B) = AA/|A||A| => A²/ |A|²=1 => φ=0

Коллинеарные вектора:A и B коллинеарны, если угол между ними равен 0 или π;

а) если AˆB=0, то коллинеарные векторы одинаково направленные;

б) если AˆB=π, то коллинеарные векторы противоположно-направленные.

Теорема: Ненулевые вектора A и B коллинеарны, когда можно подобрать такое число K, чтобы B=KA.

Система векторов называется разрешённой, если она в качестве части содержит диогональную систему векторов

5. Разложение вектора по системе векторов. Свойства разложения

Дана система n-мерных векторов A1,A2,…,Ak

Выберем k произвольных чисел: l1,l2,…,lk

l1A1+l2A2+…+lkAk (линейная комбинация векторов A1,A2,…,Ak с коэффициентами l1,l2,…,lk)

Пусть задан вектор B. Говорим,что вектор B линейно выражается через векторы A1,A2,…,Ak, если B=некоторой линейной комбинации векторов A1,A2,…,Ak, т.е. существует набор чисел l1,l2,…,lk такой, что B= l1A1+l2A2+…+lkAk

Коэффициенты l1,l2,…,lk называются в этом случае коэффициентами разложения вектора B по системе векторов A1,A2,…,Ak

Свойства:

1. нулевой вектор θ разлагается по любой системе векторов (θ=0*A1+0*A2+…+0*Ak)

2. если вектор B разлагается по части системы векторов, то он разлагается и по всей системе векторов (B=l2A2+l3A3+l4A4 B=0*A1+l2A2+l3A3+l4A4+0*A5)

3. каждый n-мерный вектор B разлагается по диагональной системе n- мерных векторов. B=(b1,b2,…,bn) E1=(1,0,0,….0) E2=(0,1,0,…,0) ……………… En=(0,0,0,…,1) c коэффициентами = координатам вектора B B=b1E1+b2E2+…+bnEn