24)Общее решение слу в векторной форме

Рассматривается совместная система линейных уравнений AX=B(1). Если положить B= θ, то получим следующее: AX= θ (2) – такая система является приведенной формы для AX=B. Если K является решением системы AX=B, то вектор B можно разложить по столбцам: B=A1K1+A2K2+…+AnKn (3)

Теорема: Произвольное решение X совместной системы уравнения AX=B определяется формулой: X=K+t1F1+t2F2+…+tkFk (4), где K – решение системы AX=B, F1,…Fk – ФСР уравнения AX= θ , а t1,t2…tk – произвольные действительные числа Д-во:При помощи формулы (4) получается только решение системы(1) A(k+t1F1+t2F2+…+tkFk)=Ak+At1F1+At2F2+…+AtkFk=B+t1 θ+…+tk θ необходимо установить, что каждое решение сист. уравнений(1) (L) можно представить в виде k+t1F1+…+tkFk,т.к. L и k – решения системы (1), то имеем: AL=B,Ak=B=A(L-k)=AL-Ak=B=> вектор L-k явл. Решением однородной системы (2)=> разлагается по её ФСР L-k=(p1F1+p2F2+…+pkFk) L=K+p1F1+p2F2+…+pkFk Из последнего выражения=> что решение получается из формулы(4) при t1=p1,t2=p2…tk=pk