Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Matanaliz

.doc
Скачиваний:
11
Добавлен:
08.04.2015
Размер:
1.01 Mб
Скачать

7

Интеграл

О. Функция называется первообразной для если .

О. Неопределенный интеграл – множество первообразных вида .

Таблица интегралов:

1. ; 2. ; ;

3. ; 4. ; 5.

6. ; 7. ;

8. ; 9. .

О. Определённый интеграл . Геометрически – площадь криволинейной трапеции.

Формула интегрирования по частям: .

№. .

№. .

.

. .

№. . . .

№. .

№. .

№. .

№. . .

.

.

.

№.

.

№.

.

№. .

№. .

№. .

№. .

№. Площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой :

1) ; 2) .

№. Площадь фигуры: . .

№. Площадь фигуры: . . .

№. Длина дуги кривой: . . .

№. Длина дуги кривой: . .

. .

№. Длина дуги кривой: . .

.

№. Объем тела, образованного вращением вокруг оси прямой , (конус):

.

Дифференциальные уравнения

I. При описании движения материального объекта используются характеристики: – перемещение, – скорость, – ускорение (при поступательном движении); – угол поворота, – угловая скорость, – угловое ускорение (при описании вращений); – время. Постановка проблемы: найти функцию, если известна её производная.

№. .

1) от равенства в производных перейдём к равенству в дифференциалах: .

2) от равенства в дифференциалах перейдём к равенству в интегралах: .

3) вычислим (общий интеграл – решение диф.уравнения): .

Частный случай: . Тогда (общее решение).

Задача с начальным условием: , . Используем найденное решение: .

Решение, удовлетворяющее уравнению и начальному условию .

№. .

1) . 2) . 3) . . .

, . , .

№. .

1) . 2) . 3) . . .

, . . .

№. .

1) . 2) . 3) . . .

,. , .

Простейшие типы дифференциальных уравнений

1. Уравнение с разделёнными переменными: .

1) от равенства в дифференциалах перейдём к равенству в интегралах .

2) вычислим (общий интеграл – решение диф.уравнения): .

2. Уравнение с разделяющимися переменными: .

1) разделим переменные

получили уравнение с разделёнными переменными .

2) от равенства в дифференциалах перейдём к равенству в интегралах .

3) вычислим (общий интеграл – решение диф.уравнения): .

3. Линейное уравнение первого порядка: , где – известны.

1) решение ищем в виде произведения двух неизвестных функций . Тогда .

Уравнение примет вид: или .

2) Пусть . Тогда .

3) Решим первое уравнение (уравнение с разделяющимися переменными)

.

4) Решим второе уравнение (уравнение с разделяющимися переменными), в котором неизвестно :

. Общее решение линейного уравнения: .

№. или . Пусть или .

1) , или .

2) Пусть . Тогда .

3) .

4)

. .

4. Однородное диф.уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:.

1) Составляем характеристическое уравнение (алгебраическое) .

2) Случай 1. действительные. Общее решение однородного уравнения .

Случай 2. действительные. .

Случай 3. комплексные..

№. . 1.. 2..

Начальные условия: ..

Решение удовлетворяющее уравнению и начальным условиям:.

№. . 1). 2).

№.. 1). 2).

5. Неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:.

Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного .

№. .

Частное решение ищем в виде, , .

Общее решение неоднородного уравнения: .

Пусть начальные условия: . Тогда:

.

Решение неоднородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .

Найти общий интеграл дифференциальных уравнений:

№. .

.

№. .

1) . 2) .

3) .

Решить задачу Коши:

№. .

1) Решение уравнения ищем в виде: . Тогда .

2) Пусть . Тогда . 3) .

4) 5). 6) .

Найти общие решение дифференциальных уравнений:

№. .

1) Для однородного уравнения составим характеристическое (алгебраическое)

. 2) Общее решение однородного уравнения .

3) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: .

Тогда: и уравнение примет вид:.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ,

получим: . любой, пусть .

4) Общее решение неоднородного уравнения: .

№. . 1)

2) .

. Приравнивая коэффициенты при получим:

. 3) .

№. .1) .

2)

. Приравняем коэффициенты при

: .

3) .

№. . 1) .

2) .

3) .4).

Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка

с постоянными коэффициентами методом Лапласа

О. – оригинал, ( – комплексный параметр) – преобразование Лапласа,

– изображение.

№. .

№. = .

№. , , .

№. . 5. .

№. .

№. Найдём преобразование Лапласа первой производной:

== .

№. Найдём преобразование Лапласа второй производной:

==

= .

№. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

Схема решения:

1. Подействуем преобразованием Лапласа на левую и правую части уравнения

.

2. Подействуем обратным преобразованием Лапласа на левую и правую части уравнения

(решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям).

№. ,

1. .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]