Matanaliz
.doc
Интеграл
О. Функция называется первообразной для если .
О. Неопределенный интеграл – множество первообразных вида .
Таблица интегралов:
1. ; 2. ; ;
3. ; 4. ; 5.
6. ; 7. ;
8. ; 9. .
О. Определённый интеграл . Геометрически – площадь криволинейной трапеции.
Формула интегрирования по частям: .
№. .
№. .
.
. .
№. . . .
№. .
№. .
№. .
№. . .
.
.
.
№.
.
№.
.
№. .
№. .
№. .
№. .
№. Площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой :
1) ; 2) .
№. Площадь фигуры: . .
№. Площадь фигуры: . . .
№. Длина дуги кривой: . . .
№. Длина дуги кривой: . .
. .
№. Длина дуги кривой: . .
.
№. Объем тела, образованного вращением вокруг оси прямой , (конус):
.
Дифференциальные уравнения
I. При описании движения материального объекта используются характеристики: – перемещение, – скорость, – ускорение (при поступательном движении); – угол поворота, – угловая скорость, – угловое ускорение (при описании вращений); – время. Постановка проблемы: найти функцию, если известна её производная.
№. .
1) от равенства в производных перейдём к равенству в дифференциалах: .
2) от равенства в дифференциалах перейдём к равенству в интегралах: .
3) вычислим (общий интеграл – решение диф.уравнения): .
Частный случай: . Тогда (общее решение).
Задача с начальным условием: , . Используем найденное решение: .
Решение, удовлетворяющее уравнению и начальному условию .
№. .
1) . 2) . 3) . . .
, . , .
№. .
1) . 2) . 3) . . .
, . . .
№. .
1) . 2) . 3) . . .
,. , .
Простейшие типы дифференциальных уравнений
1. Уравнение с разделёнными переменными: .
1) от равенства в дифференциалах перейдём к равенству в интегралах .
2) вычислим (общий интеграл – решение диф.уравнения): .
2. Уравнение с разделяющимися переменными: .
1) разделим переменные
получили уравнение с разделёнными переменными .
2) от равенства в дифференциалах перейдём к равенству в интегралах .
3) вычислим (общий интеграл – решение диф.уравнения): .
3. Линейное уравнение первого порядка: , где – известны.
1) решение ищем в виде произведения двух неизвестных функций . Тогда .
Уравнение примет вид: или .
2) Пусть . Тогда .
3) Решим первое уравнение (уравнение с разделяющимися переменными)
.
4) Решим второе уравнение (уравнение с разделяющимися переменными), в котором неизвестно :
. Общее решение линейного уравнения: .
№. или . Пусть или .
1) , или .
2) Пусть . Тогда .
3) .
4)
. .
4. Однородное диф.уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:.
1) Составляем характеристическое уравнение (алгебраическое) .
2) Случай 1. действительные. Общее решение однородного уравнения .
Случай 2. действительные. .
Случай 3. комплексные..
№. . 1.. 2..
Начальные условия: ..
Решение удовлетворяющее уравнению и начальным условиям:.
№. . 1). 2).
№.. 1). 2).
5. Неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:.
Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного .
№. .
Частное решение ищем в виде, , .
Общее решение неоднородного уравнения: .
Пусть начальные условия: . Тогда:
.
Решение неоднородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .
Найти общий интеграл дифференциальных уравнений:
№. .
.
№. .
1) . 2) .
3) .
Решить задачу Коши:
№. .
1) Решение уравнения ищем в виде: . Тогда .
2) Пусть . Тогда . 3) .
4) 5). 6) .
Найти общие решение дифференциальных уравнений:
№. .
1) Для однородного уравнения составим характеристическое (алгебраическое)
. 2) Общее решение однородного уравнения .
3) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: .
Тогда: и уравнение примет вид:.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ,
получим: . любой, пусть .
4) Общее решение неоднородного уравнения: .
№. . 1)
2) .
. Приравнивая коэффициенты при получим:
. 3) .
№. .1) .
2)
. Приравняем коэффициенты при
: .
3) .
№. . 1) .
2) .
3) .4).
Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка
с постоянными коэффициентами методом Лапласа
О. – оригинал, ( – комплексный параметр) – преобразование Лапласа,
– изображение.
№. .
№. = .
№. , , .
№. . 5. .
№. .
№. Найдём преобразование Лапласа первой производной:
== .
№. Найдём преобразование Лапласа второй производной:
==
= .
№. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям
Схема решения:
1. Подействуем преобразованием Лапласа на левую и правую части уравнения
.
2. Подействуем обратным преобразованием Лапласа на левую и правую части уравнения
(решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям).
№. ,
1. .