18) Линейное уравнение. Определение решения линейного уравнения. Равносильные линейные уравнения. Построение решения линейного уравнения.

Линейное уравнение относительно x1,x2,…,xn называется выражение a1x1+a2x2+…+anxn=b, где a1,a2,…,an – коэффициенты, а b – свободный член Решением уравнения называется n-мерный вектор k=(k1,…,kn), когда после подстановки координат вектора в данное уравнение получается верное равенство. 2 уравнения равносильны, если они имеют одинаковые решения. При решении:-перенос членов и –умножение обеих частей на одно и тоже число отличное от нуля. Пусть а1≠0,перенесём все члены(кроме a1x1) в правую часть и поделим обе части на а1. В результате получаем уравнение равносильное исходному: x1=c0+c2x2+…+cnxn (где c0=b/a1, c2=-a2/a1, cn=-an/a1) построим решение x1=c0+c2k2+…+cnkn  Если коэффициенты при неизвестных a₁ = a₂ = ... = a_n =0 и b = 0, в этом случае уравнение имеет вид: 0*x₁+0*x₂+...+0*x_n=0 и называется тривиальным (данное уравнение имеет бесконечное множество решений)

 Если коэффициенты a₁ = a₂ = ... = a_n =0, а b ≠ 0, в этом случае уравнение имеет вид: 0*x₁+0*x₂+...+0*x_n= b и называется противоречивым. (данное уравнение не имеет ни одного решения)

19. Системы линейных уравнений (слу). Определение решения слу. Формы записи слу. Совместные слу. Теорема Кронеккера-Капелли. Теорема о ранге определенной слу(док-во). Теорема Крамера (док-во).

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида: a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 …………………………….. am1x1+am2x2+…+amnxn=bm Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Решением системы называется n значений неизвестных  х₁=c₁, x₂=c₂, ..., x_n=c_n, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Векторная форма записи

Система уравнений может быть записана в векторном виде:

A₁x₁ + A₂x₂ + ... + A_nx_n =B

Матричная форма записи

В матричной записи система линейных уравнений может быть записана следующим образом:

AX=B

Теорема Кронеккера-Капелли: СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы=ранге расширенной. Определённая- если единственное решение

Теорема о ранге определённой СЛУ: Совместная система линейных уравнений является определённой тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы систем уравнений= числу неизвестных. Необходимость: система имеет един. Решение k=(k1,k2,..,kn), тогда должно выполняться A1k1,A2k2+…+Ankn=B.Покажем,что A1,…,An лин. не зависимы. Рассмотрим разложение нулевого векора: A1t1+A2t2+…+Antn=0 + =>A1(t1+k1)+A2(t2+k2)+…+An(tn+kn)=B A1k1+A2k2+…+Ankn=B т.е. L=(t1+k1 t2+k2 … tn+kn)-явл. Решением исходной сис. Урав. Из определительности сист.=>k1=k1+t1;k2=k2+t2…kn=kn+tn=>t1=t2=…=tn=0=> нулевой вектор разлагается только с нулевыми коэф.,значит A1,…,An- лин. Не зависимы=>её ранг n. Достаточность: Ранг м. А=n=> система A1…An – лин. независимаяб из совместимости исходной сист. следует, что В разлагается по сист. А1…An, т.к. эта сист. лин. независимая, то имеется только одно разложение В по этой сист.,т.е. сист. имеет единственное решение.

Теорема Крамера: если определитель основной матрицы сист. уравнений A1x1+A2x2+…+Anxn=B (n лин. уравнений с n неизвест.) ≠ 0, то система уравнен. имеет единственное решение (k), где k1=d1/d;k2=d2/d…kn=dn/d,где d=det(A1A2…An) d1=det(BA2…An);d2=det(A1B…An)…dn=det(A1A2…B) Д-во:A1k1+A2k2+…+Ankn=B Рассмотрим определитель d1: d1=(BA2A3…An)= (A1k1+A2k2+…+Ankn A2A3…An)=det(A1k1A2A3…An)+det(A2k2A2…An)+…+det(Ankn A2..An)=det(A1k1 A2…An)=k1det(A1A2..An) =>d1=k1d=>k1=d1/d