6. Элементарные преобразования системы векторов

Система векторов {A1,…Am,B}. Запись в виде матрицы, столбцы которой совпадают с координатами векторов: A1 A2 … Am | B

a1 a2 … am | b1

……………. | …

an an … anm | bn

1. вычеркивание из матрицы нулевой строки

2. умножение j-ой координаты векторов на числа, отличное от 0

3. прибавление к j-ой строки i-ой строки, умноженной на любое число

4. после каждого элементарного преобразования вектор B преобразованной системы разлагается по системе A1,A2,…,Am с теми же коэффициентами, что и начальный.

Жорданово преобразование системы векторов.

Жордановым преобразованием системы векторов с разрешающим элементом Ars не равном 0 называется совокупность элементарных преобразований. Цель Жордановых преобразований получить единичный вектор.

Метод Гаусса: позволяет получить после конечного числа Жордановых преобразований разрешённую систему векторов. В каждом Жордановом преобразовании разрешающий элемент выбирается в строке, в которой ранее разрешающий элемент не выбирался.

7. Подобные системы векторов

Если систему векторов A1,A2…Am можно при помощи конечного числа элементарых преобразований превратить в систему B1,B2…Bm

Подобные системы векторов всегда содержат одно и то же число векторов; размерности векторов в этих системах могут не совпадать.

Свойства:

1. Если A1,…Am подобна B1,…Bm, то B1,…Bm подобна A1,…Am

2. Если система А подобна системе В, а система В подобна системе С, то система А подобна системе С

3. Пусть система А подобна системе В. Если нулевой вектор разлагается по системе векторов А, то он разлагается по системе векторов В с теми же коэффициентами.

8. Разложение вектора по системе.

Разложить B по системе A1,…,Am

1. Преобразуем систему векторов А1,…,Аm, В методом Гаусса в разрешённую систему векторов,у которой А1',…,Аm' – разрешённая часть.

2. Разлагаем B по разрешённой системе векторов B'=k1A1'+k2A2'+…+kmAm'

3. Выписываем разложение B по системе векторов А1,…,Аm. B=k1A1+k2A2+…+kmAm

9. Линейная зависимость систем векторов

Система векторов A1,A2…Am линейна зависима, если имеется 2 различных разложения нулевого вектора по системе векторов A1,…Am.

Теорема об условиях равносильности линейно-зависимой системы векторов.

Дана система векторов,тогда следующие условия равносильны

1. есть не нулевое разложение вектора θ по системе A1,…,Am

2. хотя бы один из векторов разлагается по остальным векторам этой системы

Теорема о разложении вектора по линейно независимой системе векторов.

Теорема: Дана система А, тогда след. условие равносильно:

А) система А линейно не зависима

Б) есть только нулевое разложение нулевого вектора по системе А

В) ни один из векторов системы А не разлагается по остальным векторам этой системы.

10. Базис и ранг системы векторов

Базисом системы векторов А называется такая её часть, которая удовлетворяет следующим её условиям:

а) B1,B2,…Br линейно не зависимы

б) каждый вектор системы A1,…Am разлагается по векторам B1,…Br

Рангом системы векторов называется число векторов в любом её базисе.

Построение базиса системы векторов:

1. преобразовать систему векторов методом Гаусса в разрешённую систему

2. найти диагональную часть получинной разрешённой системы векторов

3. часть исходной системы соответствующая диагональной части разрешённой системы является базисом данной системы векторов