15. Транспонированная матрица. Правила транспонирования

На ряду с матрицей А, строки матрицы А являются столбцами матрица Аt

1. Ak=kAt k – вектор,L-вектор

2. LA=A῟L

3. (AA(-1))t=Et

4. (A(-1))t=E

5. (At)(-1)=(A(-1))t

6. (Ak)t=Atk

7. (A+B)t=At+Bt

8. (AB)t=Bt+At

16. Ранг матрицы. Преобразования, не меняющие ранг

Ранг матрицы – ранг системы её столбцов

Элементарные преобразования не меняют её ранга:

1. вычеркивание нулевой строки

2. прибавление к i-ой строке j-ой строки, умноженной на k (i+jk)

3. вычеркивание строки, которая является линейной комбинацией других строк матрицы

4. умножение столбца на отличное от 0 число

Теорема о ранге произведения матриц

a) Ранг произведения двух матриц не выше ранга каждого из сомножителей.

b) Ранг произведения произвольной матрицы А справа или слева на невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу матрицы А. (C-обратимая матрица, r(AC)=r(A) )

17. Определитель квадратной матрицы

Определителем n-ого порядка квадратной матрицы A называется алгебраическая сумма всех возможных произведений её элементов, взятых только по одному из каждой строки и каждого столбца, причем, знак каждого слагаемого определяется числом инверсий в перестановках, составленных из 1 и 2 индексов членов сомножителей.

Свойства определителя. Док-ва 1,2,3,4,5 и 6 свойств

1. Определитель не меняется при транспонировании. д-во: a11 a32 a23 траснпон. а11 a23 a32- кол-во инверсий не изменилось

Каждому произведению исходной матр. Можно поставить произведение транспонир. Матр. Инверсии не меняются=>величины определителя равны

2. При перестановке любых 2 строк в матрице, определитель по абсолютной величине не измениться, а знак его поменяется на обратный

det(A1,…Ai,…,Aj,…,An)=det(A1,…,Ai+Aj,…,Aj,…,An)=det(A1,…,Ai+Aj,…,Aj-(Ai+Aj),…,An)=det(A1,…,Ai+Aj,…,-Ai,…,An)=det(A1,…,Ai+Aj-Ai,…,-Ai,..,An)=det(A1,…,Aj,…,-Ai,…,An)=-det(A1,…,Aj,…,Ai,…,An)

3. Если в определителе есть 2 одинаковые строки, то он равен 0. Действительно, если переставить здесь 2-ю и 3-ю строки, то по свойству 2 этот определитель должен изменить знак, но сам определитель в данном случае не меняется, т.е. получаем |A| = –|A| или |A| = 0.

4. Если все элементы строки определителя умножить на отличное от 0 число, то определитель умножается на это число (Если элементы какой-либо строки имеют одинаковый множитель, то он выносится за скобки, и определитель матрицы умножается на этот множитель). Доказывается решением одной и другой стороны равенства.

5. Определитель с двумя пропорциональными строками равен 0. Если вынести общий множитель за знак определителя у одной из пропорциональных строк, чтобы в определителе получилось 2 одинаковые строки, то по св.3 величина определителей равна 0.

6. Определитель, содержащий нулевую строку, равен 0. Доказывается проверкой.

7. Если каждый элемент какой-либо строки определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то его можно представить в виду суммы двух определителей.

8. Определитель не изменится, если к элементам любой его строки прибавить элементы любой другой строки, умноженные на одно и то же число.

Разложение определителя по строке и столбцу

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой её строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

det А= (-1)ⁱ⁺¹ а_i1 det А_i1 + (-1)ⁱ⁺² а_i2 det A_i2 + ... + (-1)ⁱ⁺ⁿ а_in det А_in,

а nри разложении по элементам k-го столбца

det А= (-1)^1+k a_1k det А_1k + (-1)^2+k а_2k det А_2k + ... + (-l)^n+k a_nk det A_nk.

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.