- •Понятие действительной функции действительной переменной. Способы задания функции. График функции. Сложная и взаимно обратные функции.
- •2.Основные свойства функций. Примеры функций, используемых в экономике.
- •3.Понятие числовой последовательности и основные свойства сходящихся последовательчностей.
- •4. Предел числовой последовательности. Признаки существования предела последовательности. Два замечательных предела.
- •5.Предел функции в бесконечности и в точке.
- •6. Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •8. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •9. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала. Приложения производной в экономических расчетах. (для экономики)
- •11. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.
- •12. Правило Лопиталя.
- •13. Точки экстремума. Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.
- •14. Выпуклость и точки перегиба функции. Необходимое и достаточное условие перегиба функции.
- •15. Нахождение асимптот функции.
- •16. Уравнение касательной и нормали к графику функции в заданной точке.
- •17.Первообразная функция и неопределнный интеграл.
- •18. Свойства неопределнного интеграла.
- •19. Интегралы от основных элементарных функций. Основные методы интегрирования.
- •20. Интегрирование рациональных дробей.
- •21. Интегрирование иррациональных выражений.
- •22. Понятие определённого интеграла и свойства его.
- •23. Определенный интеграл как функция верхнего предела.
- •24. Формула Ньютона-Лейбница .
- •25. Несобственные интегралы с бесконечными приделами. Признаки сходимости несобственных интегралов.
- •26. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов.
- •27. Геометрические приложения определённого интеграла.
- •28.Применение определенного интеграла в экономических задачах.
- •29.Понятие числового ряда. Основные св-ва ряда.
- •30.Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •32.Понятия функционального ряда. Свойства равномерно сходящихся рядов.
- •33. Степенные ряды. Теорема Абеля. Св-ва степенных рядов. Радиус Сходимости степенного ряда.
- •34. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •35.Признаки сравнения для исследования сходимости числовых рядов с положительными членами.
- •36.Понятие ф-ции нескольких переменных, предел и непрерывность ф-ции.
- •37.Частные производные ф-ции 1го порядка и полный дифференциал.
- •42.Геометрическая интерпритация двойного интеграла
- •43.Использование функций нескольких переменных в экономических приложениях.
- •44.Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Краевая задача и задача Коши.
- •45.Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения.
- •46.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
- •47.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •52.Применение дифференциальных уравнений в экономике.
47.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения 1 порядка – однородное , если оно может быть представлено в виде ,где g- некоторая функция(одной переменной).
Понятие однородного дифференциального уравнения связано с однородными функциями. Функция y=f(x,y) называется однородной степени k( по переменным х и у), если для произвольного числа выполняется равенство:
48.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнение имеюшее вид У”+ ф (х)= д(х) -(непрерывные функции от х)
Если функция д(х)=0 , уравнение однородное
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Диф-ое уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид y1+f(x)y=g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции переменной x. В случае, когда функция g(x) тождественно рана 0, уравнение называется однородным, в противном случае- неоднородным.
Способ решения: найдем сначала v1+f(x)v=0. Потом vu1=g(x).
Решим xy1-2y=2x4.
y1- 2/х *y=2x3
Пусть y=uv, т.е. y1=u1v+uv1, тогда u1v+uv1- 2/х uv=2x3 или u1v+u(v1-2/х v)=2x3
Положим v1- 2/х v =0 или .=v, откуда =2 . Проинтегрируем, найдем частное решение уравнения, например при c=0
|n|v|=2|n|x| и v=x2.
При v=x2 следует u1x2=2x3 или =2x
Решая уравнение, получаем u=x2+с
Окончательно имеем y=uv=(x2+c)x2=x4+cx2
49.Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
В некоторых случаях решение диф-ого уравнения второго порядка может быть сведено к последовательному решению двух диф-х уравнений первого порядка.
y11=f(x), оно решается последовательным интегрированием.
решим xy11+y1=0.
Положим z=y1. Тогда хy11=z1, и исходное уравнение принимает вид xz1+z=0. Откуда
= - .
Интегрируем z=c1/x – возвращаемся к первоначальной функции, y1=c1/x или dy=c1dx/x, решая, получаем y=c1ln|x|+cz. Если в Ур-е не входит переменная х, то оно имеет вид G(y, .
50.Общее решение однородного линейного диф-ого уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейное диф-ое уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: y11+py1+gy=v(x), где p,g – некоторые действительные числа
v(x) – некоторая функция
Общее решение Ур-я ищется виде суммы общего неоднородного и частного однородного.
Th. Если y1(x) и y2(x) – линейно независимые частные решения уравнения y11+py1+gy=r(x), то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, т.е. имеет вид y=c1y1+ c2y2 для произвольных действительных чисел с1 и с2.
Th. – Пусть хар-ое уравнение z+p+g=0 уравнения y11+py1+gy=r(x) имеет действительные корни 1 и z, причем 1≠z. Тогда общее решение уравнения y11+py1+gy=r(x) имеет вид y=c1e1x+сяezx.
Если хар-ое уравнение z+p+g=0 имеет один корень , то общее решение уравнение имеет вид
У= С1 е2х+с2хе2х
Если хар-ое уравнение λ2+рλ+g=0 не имеет корней, то общее решение уравнения имеет вид у=С1еλх sin βх + с2 еλх cosβх , где λ = - р/2 , β= корень из g – p2/4 , с1 , с2 некоторые числа.
Т.к. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
у"+ру`+ gy = r (x) равно сумме общего решения соотв. Однородного уравнения
у"+ру`+gy = 0 частного решения исходного неоднородного уравнения у"+ру` + gy =r(x)
51.Частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим некоторые частные уравнения У"+ру`+gу=r(x) является многочленам степени m т.е. имеет вид r(x)=a0+ a1x+a2x2+….+amxm тогда частное решение
U(x)=(coc1x + …..+ cmxm) xk
Пусть первая часть уравнения у"+ру`+gу=r(x) имеет вид r(x)=Аеах . Тогда частное решение u(x)=c0 xk e ax
Пусть первая часть уравнения у"+ру`+gу=r(x) имеет вид r(x)= A cos bx + B sin Bx. Тогда частное решение u(x)=xk (C0 cos Bx + C1 Sin Bx)
Замечание. Если правая часть r(x) уравнения у"+ру`+gу=r(x) является суммой некоторых функций т.е. r(x)=r1(x)+r2(x)+…..+ rn(x), то для нахождения частного решения такого уравнения достаточно сложить частные решения ui (x) уравнений у"+ру`+gу=ri(x) где i = 1,2-n т.е. u(x) =U1(x)+u2(x)+…..+ un(x).