8. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производной n-ого порядка наз.производная от производной (n-1)-ого порядка. Обозначение: и т.п. Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры.

Дифф.Высш.порядков.

9. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала. Приложения производной в экономических расчетах. (для экономики)

10. Правила дифференцирования сумм, произведения и частного функций. Производная сложной и обратной функций.

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют в точке x производные, то сумма (разность), произведение и частное этих функций также имеют производные в этой точке, и справедливы следующие формулы:

1) (u±v) =u/±v/,

2) (u·v)/=u/v+v/u,

3)

Теорема. Если функция y=f(x) имеет в точке производную не равную нулю, то обратная функция x=φ(y) имеет в соответствующей точке производную, которая вычисляется по формуле: φ/(y0)=1f/(x0).

Доказательство y/=limΔx→0ΔxΔy,ϕ/(x0)=limΔy→0ΔyΔx=limΔy→01ΔxΔy=∣∣∣limΔx→0Δy=0∣∣∣=1limΔx→0ΔxΔy=1f/(x0).

Теорема Если функция x=φ(t) имеет производную в точке t0, а функция y=f(x) имеет производную в точкеx0=φ(t0), то сложная функция y(t)=f(φ(t)) имеет производную в точке t0 и справедлива формула: y/(t0)=f/(x0)·ϕ/(t0).

11. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке Х функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. =0.

Геометрический смысл : в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка Х, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Роля. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1. непрерывна на отрезке [a,b]

2. дифференцируема на интервале (a,b)

3. на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a)=f(b)

Тогда внутри отрезка существует, по крайней мере, одна такая точка , в которой производная функция равна нулю:

Если f(a)=f(b)=0, то теорему Роля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

Теорема Лагранжа. Пусть функция у=f(x) удовлетворяет след.условиям:

1) непрерывна на отрезке [a,b]

2. дифференцируема на интервале (a,b)

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е.

, таким образом теорема утверждает: существует хотя бы одна точка внутри отрезка такая, что скорость изменения функции в ней равна средней скорости изменения функции на этом отрезке.

12. Правило Лопиталя.

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует в указанном смысле..

Если имеется неопределенность вида: .

Процедуру перехода к производной можно продолжить до раскрытия неопределенности.

, если эта неопределенность, то нужно перейти к логарифму.

.