- •Понятие действительной функции действительной переменной. Способы задания функции. График функции. Сложная и взаимно обратные функции.
- •2.Основные свойства функций. Примеры функций, используемых в экономике.
- •3.Понятие числовой последовательности и основные свойства сходящихся последовательчностей.
- •4. Предел числовой последовательности. Признаки существования предела последовательности. Два замечательных предела.
- •5.Предел функции в бесконечности и в точке.
- •6. Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •8. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •9. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала. Приложения производной в экономических расчетах. (для экономики)
- •11. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.
- •12. Правило Лопиталя.
- •13. Точки экстремума. Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.
- •14. Выпуклость и точки перегиба функции. Необходимое и достаточное условие перегиба функции.
- •15. Нахождение асимптот функции.
- •16. Уравнение касательной и нормали к графику функции в заданной точке.
- •17.Первообразная функция и неопределнный интеграл.
- •18. Свойства неопределнного интеграла.
- •19. Интегралы от основных элементарных функций. Основные методы интегрирования.
- •20. Интегрирование рациональных дробей.
- •21. Интегрирование иррациональных выражений.
- •22. Понятие определённого интеграла и свойства его.
- •23. Определенный интеграл как функция верхнего предела.
- •24. Формула Ньютона-Лейбница .
- •25. Несобственные интегралы с бесконечными приделами. Признаки сходимости несобственных интегралов.
- •26. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов.
- •27. Геометрические приложения определённого интеграла.
- •28.Применение определенного интеграла в экономических задачах.
- •29.Понятие числового ряда. Основные св-ва ряда.
- •30.Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •32.Понятия функционального ряда. Свойства равномерно сходящихся рядов.
- •33. Степенные ряды. Теорема Абеля. Св-ва степенных рядов. Радиус Сходимости степенного ряда.
- •34. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •35.Признаки сравнения для исследования сходимости числовых рядов с положительными членами.
- •36.Понятие ф-ции нескольких переменных, предел и непрерывность ф-ции.
- •37.Частные производные ф-ции 1го порядка и полный дифференциал.
- •42.Геометрическая интерпритация двойного интеграла
- •43.Использование функций нескольких переменных в экономических приложениях.
- •44.Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Краевая задача и задача Коши.
- •45.Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения.
- •46.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
- •47.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •52.Применение дифференциальных уравнений в экономике.
3.Понятие числовой последовательности и основные свойства сходящихся последовательчностей.
Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствии вполне определенное число ,то говорят, что задана числовая последовательность :
Другими словами, числовая последовательность-это функция натурального аргумента . Числа наз. Членами последовательности, а число общим или n-ым членом последовательности.
Последовательность, имеющая предел, наз. сходящейся, в противном случае-расходящейся.
Св-ва: Пусть имеются 2 последовательности
Если =а, то
Сходящаяся последовательность ограничена.
Если , ,тогда
,B 0.
Если 2 последовательности имеют одинаковый предел и есть последовательность, находящаяся между ними, то она будет иметь тот же предел.
4. Предел числовой последовательности. Признаки существования предела последовательности. Два замечательных предела.
Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа >0, найдется такой номер N, что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство: . Пердел числовой последовательности обозначается .
Признаки существования предела: 1) Если числовая последовательность монотонна и ограниченна, то она имеет предел.
2) Если в некоторой окрестности точки функция f(x) заключена между двумя функциями , имеющими одинаковый предел А при , то функция f(x) имеет тот же предел А.
Замечательные пределы: Первым замечательным пределом называется
Вторым замечательным пределом (число е) называется предел числовой последовательности ,где е-число Эйлера.
5.Предел функции в бесконечности и в точке.
Число А называется пределом функции у=f(x) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа >0, найдется такое положительное число S>0, что для всех х таких, что >s, верно неравенство предел функции обозначается
Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к (или в точке ), если для любого даже сколь угодно малого положительного числа >0, найдется такое положительное число >0, что для всех х, не равных и удовлет.условию ,этот предел обозначается .
Замечание 1. Определение предела не требует существования функции в самой точке .
6. Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Функция f(x) называется непрерывной в точке ,если она удовлетворяет след.трем условиям: 1)определена в точке (т.е. существует f( )); 2) имеет конечный предел функции при ;3) этот предел равен значению функции в точке ,т.е.
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке ,если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:
Св-ва функций, непрерывных на отрезке:
Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.
Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения М.
Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и значения ее на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка такая, что f( )=0/
7. Производная функции и дифференциал.
Производной функции у=f(x) наз.предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю( если этот предел существует): .
Нахождение производной функции наз. Дифференцированием этой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция наз. Дифференцируемой в этой точке.
Если функция у=f(x) дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна. (непрерывность функции-необходимое, но недостаточное условие дифференцируемости функции.)
Дифференциалом функции наз. Главная, линейная относительно часть приращения функции, равная . Dy=dx=
Dy= .
Дифференциал равен приращению ординаты касательной в данной точке, когда х получает приращение .
Св-ва дифференциала: 1)d(cf)=cdf, c=const. D(cf)=
2)d(f
3)d(f
4)d(f/ .