16. Уравнение касательной и нормали к графику функции в заданной точке.

Пусть функция задается уравнением y=f(x), нужно написать уравнение касательной в точке . Из определения производной:

(x)=limΔx→0ΔxΔy

Δy=f(x+Δx)−f(x).

Уравнение касательной к графику функции: y=kx+b (k,b=const). Из геометрического смысла производной: f ’(x0)=tgα=k Т.к. x0 и f(x0)∈ прямой, то уравнение касательной записывается в виде: y−f(x0)=f ’(x0)(x−x0), или

y=f ’(x0)·x+f(x0)−f ’(x0)·x0.

Уравнение нормали

Нормаль -- это перпендикуляр к касательной (см. рисунок). Исходя из этого:

tgβ=tg(2π−α)=ctgα=1tgα=1f ’(x0)Т.к. угол наклона нормали -- это угол β1, то имеем: tgβ1=tg(π−β)=−tgβ=−1f ’(x).Точка (x0,f(x0))∈ нормали, уравнение примет вид: y−f(x0)=−1f ’(x0)(x−x0).

17.Первообразная функция и неопределнный интеграл.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(х) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка (x) = f(x).

Теорема: Если F₁ (х) и F₂(х) — первообразные для функции f(х) на некотором промежутке х, то найдется такое число с, что будет справедливо неравенство F₂(х) = F₁ (х) + с.

Совокупность всех первообразных для функции f(х) на промежутке х называется неопределенным интегралом от функции f(х) и обозначается ʃ f(х)dx, ʃ f(х)dx = F (х) + с.

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции наз. Интегрированием этой функции.

18. Свойства неопределнного интеграла.

1). Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции ( ʃ f(x)dx)' = f(x)

2). Дифференциал неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению d ( ʃ f(x)dx) = f(x)dx

3). Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого ʃ d F(x) = F(x) + c.

4). Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

ʃ α f(x)dx=α ʃ f(x)dx.

5). Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций, т.е. ʃ (f(x) ± g(x))dx = ʃ f(x)dx ± ʃ g(x)dx

19. Интегралы от основных элементарных функций. Основные методы интегрирования.

1). ʃ 0dx = c 2). 3). ʃ = ln |x| +c 4). 5). ʃ e^xdx = e^x + c 6). ʃ sinx dx = -cosx dx 7. ʃ cosx dx = sinx + c 8). 9). 10). 11). 12). 13).

Основные методы интегрирования:

1. непосредственное интегрирование ( табличные интегралы)

2. Подведение под знак дифференциала

3. Метод замены переменной (описывается след.формулой: , где - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.) а) введение новой переменной интегрирования; б) заданный интеграл сводится к новому интегралу, который сводится к табличному.

4. Интегрирование по частям.

u и v — дифференциируемые на некотором промежутке функции.

d(u, v) = u dv + v du

u dv = d (uv) – v du

ʃ u dv = ʃ d (uv) - ʃ v du

ʃ u dv = uv - ʃ v du

ʃ dv = v

20. Интегрирование рациональных дробей.

Неопределнный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в 0, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей.

Метод заключается в разложении рациональных дробей на сумму простейших.

P(x) = P_{n –} многочлен n-ой степени, Q _m- полином m-ой степени.

A_1, A₂...M₁, M₂...N₁, N₂ – неопределенные коэффициенты.