2.2 Критерии выбора вейвлета

Свойство регулярности, число нулевых моментов и число вейвлет-коэффициентов, превышающих некото­рое пороговое значение, были предложены в качестве возможных критериев для выбора конкретного вей­влета, не говоря уже о требуемых вычислительных затратах. Иногда для выбора используется так называе­мый функционал информационной ценности. Пытаются минимизировать его и таким способом выбрать опти­мальный базис. В частности, рассматривается энтропий­ный критерий вероятностного распределения вейвлет-коэффициентов. Энтропия функции по отноше­нию к вейвлет-базису отражает число существенных членов в разложении (см. лекцию 3) . Она определяется как . Если мы имеем набор орто­нормальных базисов, то выберем для анализа функции f тот, который приводит к наименьшей энтропии.

Число возможных вейвлетов в нашем распоряжении намного больше, чем приведено в предыдущих приме­рах. Мы не будем обсуждать все, а лишь рассмотрим некоторые.

• Во-первых, следует упомянуть сплайны, которые приводят к вейвлетам с некомпактным носителем, но с экспоненциальным спадом на бесконечности и с некото­рым (ограниченным) числом непрерывных производных. Там используется специальный приём ортогонализации. По сути дела сплайны тесно связаны интерполяционными схемами нахождения более точных начальных значений посредством связи их с некоторыми линейными комбинациями оцифрованного набора .

• Чтобы обеспечить полную симметрию и точную реконструкцию одновременно, применяют так называе­мые биортогональные вейвлеты. При этом используется два двойственных вейвлет-базиса, и , связанных с двумя разными многомасштабными лестницами. Их свойства регулярности могут заметно отличаться друг от друга. Функция может быть записана в двух видах, абсолютно эквивалентных до тех пор, пока не произво­дится сжатие:

(2.3)

(2.4)

где вейвлет и дуальный ему удовлетворяют требова­нию биортогональности . В отли­чие от вейвлетов Добеши, у которых их регулярность тесно связана с числом обращающихся в нуль моментов, биортогональные вейвлеты обладают большей свободой выбора. Если один из них обладает гладкостью порядка , то дуальный ему вейвлет автоматически имеет, по крайней мере, нулевых моментов. Если оказывается намного более регулярной функцией, то имеет на­много больше нулевых моментов, чем . Это позво­ляет нам выбрать, например, в виде очень гладкой функции и иметь с большим числом нулевых моментов. Большое число нулевых моментов у приводит к лучшим результатам при сжатии информа­ции для достаточно гладкой . Если же сжатие было проведено, то формула (2.3) оказывается заметно полез­нее формулы (2.4). Число существенных членов в ней намного меньше, и, более того, лучшая гладкость помогает восстановить с более высокой точностью. Биортогональные базисы близки к ортонормальному базису. Оба вейвлета можно сделать симметричными. Симметричные биортогональные вейвлеты, близкие к ортонормальному базису. Построение биортогональных вейвлет-базисов обычно оказывается более простым, чем соответствующая про­цедура для ортонормальных базисов.

• Наличие соотношений на двух масштабах является характерной чертой построения вейвлет-пакетов. Основ­ная идея их создания состоит в последовательном итерировании расщепления полосы частот при сохране­нии одной и той же пары фильтров. Введённая выше скейлинг-функция приобретает наименование , а сам пакет строится исходя из неё с помощью соотношений

(2.3)

(2.4)

Обычный «материнский вейвлет» записан как . Это семейство вейвлетов образует ортонормальный базис в , который называется базисом вейвлет-пакетов с фиксированным масштабом.

• Можно отказаться от свойства ортонормальности и сконструировать неортогональные вейвлеты, которые называются фреймами. Важный особый класс фреймов представлен базисами Рисса в . Базис Рисса является фреймом, но обратное утверждение неверно. Фреймы удовлетворяют следующему требованию (см. лекцию 1, соотношение (0.8)):

. (2.5)

Постоянные и называются границами фрейма. При говорят о жёстких фреймах. Случай соответствует ортонормальным вейвлетам.

• При действии (сингулярными) операторами за­частую получаются бесконечные выражения, если ис­пользовать обычные вейвлеты. В этих случаях можно подобрать некую сглаживающую функцию , чтобы наложить дополнительные условия, которые будут необ­ходимы и достаточны для того, чтобы результат воздей­ствия (сингулярного интегрального) оператора оказался непрерывным на пространстве . В этом случае выби­рают так называемые вейвлеты, подогнанные под . Любая функция/снова разлагается по формуле

(2.6)

но вейвлет-коэффициенты вычисляются теперь следую­щим образом:

(2.7)

Они удовлетворяют условию нормировки

(2.8)

Условие на знакопеременность выглядит при этом так:

(2.9)

Как мы видим, осцилляции вейвлета также подог­наны под функцию (вообще говоря, под «комплексную меру» .

• До сих пор мы рассматривали вейвлеты с масштаб­ным множителем, равным . Они наиболее удобны для численных расчётов. Однако можно доказать, что в рамках многомасштабного анализа этот множитель должен быть рациональным числом и никаких других требований не налагается. Поэтому можно построить схемы с другими целыми или дробными масштабными множителями. Иногда их использование может привести к лучшей локализации по частоте. Для вейвлетов с масштабным множителем их фурье-образ сосредото­чен в основном в пределах одной октавы между и , тогда как вейвлет базисы с дробными множителями могут иметь ширину полосы пропускания, более узкую, чем октава.

• Более того, можно использовать непрерывные вейвлеты. Тогда элемент вейвлет-базиса записывается в виде (см. лекцию 1, соотношение (1.8) и (1.15))

. (2.10)

Прямое и обратное вейвлет-преобразования выглядят так:

(2.11)

(2.12)

Здесь

(2.13)

Отсюда легко распознать, что знакопеременность вейвлетов, требуемая условием является их общим свойством. Обращение в нуль фурье-образа вейвлета при , обеспечивает конечность значения в формуле (2.13). Одним из специальных и часто исполь­зуемых примеров непрерывных вейвлетов является вто­рая производная гауссовой функции, известная здесь под названием «мексиканская шляпа» (МНАТ) из-за её формы. В действительности её можно рассматривать как некий специаль­ный фрейм. Процедура восстановления (синтеза) может оказаться, однако, неустойчивой в этом случае. Тем не менее, её часто используют для анализа сигналов. Фор­мула (2.11) представляет нечто вроде свёртки. Именно поэтому общая теория так называемых операторов Кальдерона-Зигмунда применима, в частности, к проблемам разложения по вейвлетам.