1.3 Обратное вейвлет-преобразование

Синусоидальная волна формирует ортонормированный базис функционального пространства , и с обратным преобразованием Фурье проблем не возни­кает. Ортонормированность же базисов пространства , построенных на основе вейвлетов, определяется и выбором базисного вейвлета, и способом построения базиса (значениями базисных параметров .

Вейвлет может считаться базисной функцией только в том случае, если построенный с его помощью базис ортонормирован и обратное преобразование существует. Однако строгие доказатель­ства полноты и ортогональности сложны и громоздки. Кроме того, для практических целей часто достаточно бывает устойчиво­сти и «приблизительной» ортогональности системы функций разложения, т.е. достаточно, чтобы она была «почти базисом». Как правило, для анализа сигналов используются такие «почти базисные» вейвлеты.

Запи­шем обратное преобразование лишь для тех двух слу­чаев, что описаны выше: для базиса , допускающего расширения и сдвиги и базиса , построенного при произвольных значениях .

При базисных параметрах обратное вейвлет-преобразование записывается с помощью того же базиса , что и прямое:

(1.15)

 нормализующий коэффициент (аналогичный коэф­фициенту , нормализующему преобразование Фурье):

(крышечкой сверху обозначается Фурье-образ).

Условие конечности константы ограничивает класс функций , которые могут быть исполь­зованы в качестве базисных вейвлетов. В частности, очевидно, что Фурье-образ должен быть равен нулю в начале координат и, следовательно, должен быть равен нулю по крайней мере нулевой момент:

Чаще всего в приложениях достаточно рассмотрения только положительных частот, т.е. ; вейвлет, соот­ветственно, должен удовлетворять условию

В случае дискретного вейвлет-преобразования устой­чивый базис определяется следующим образом.

Функция называется -функцией, если базис , определённый выражением , является базисом Рисса.

Для любой -функции существует базис  «двойник» базиса (в том смысле, что с помощью которого можно построить реконструкционную формулу

(1.16)

Если  ортогональный вейвлет и  ортонормированный базис, то и совпадают и формула (1.16) является формулой обратного преобразования. Если  не ортогональный вейвлет, но является двухмест­ным или парным -вейвлетом (dyadic wavelet), то он имеет двойника , с помощью которого двойник семей­ства строится подобно базису :

. (1.17)

В общем же случае реконструкционная формула (1.16) даже не обязательно является вейвлет-рядом в том смысле, что не является вейвлетом и может не иметь базиса-двойника, построенного по типу (1.12).

Лекция 2

2.1 Базисные функции вейвлет-преобразования