- •Начальный курс по теории вейвлетов Введение
- •Лекция 1
- •0 Вводные замечания
- •1.1 Краткий экскурс в ряды Фурье. Предпосылки вейвлет-преобразования
- •1.1.1 Идея вейвлет-преобразования
- •1.1.2 Аппроксимирующая и детализирующая компоненты вейвлет-анализа и синтеза сигналов
- •1.2 Разложение по вейвлетам
- •1.3 Обратное вейвлет-преобразование
- •Лекция 2
- •2.1 Базисные функции вейвлет-преобразования
- •2.1.1 Определение вейвлета
- •2.1.2 Другие системы вейвлетов
- •2.1.3 Признаки вейвлета
- •2.2 Критерии выбора вейвлета
- •2.3 Примеры вейвлетобразующих функций
- •Лекция 3
- •3.1 Усреднение и детализация
- •3.2 Масштабирующие функции и вейвлет-функиии
- •3.3 Кратномасштабный анализ
- •3.4 Нормирование
- •3.5 Вейвлет-преобразование
1.1 Краткий экскурс в ряды Фурье. Предпосылки вейвлет-преобразования
Интегральное преобразование Фурье и ряды Фурье являются основой гармонического анализа. Получаемые в результате преобразования коэффициенты Фурье поддаются достаточно простой физической интерпретации, причём простота ни в коем случае не умаляет важности последующих выводов о характере исследуемого сигнала. Для большей наглядности будем вводить необходимые понятия вейвлет-анализа, проводя аналогии и сравнения с анализом Фурье, значимость и привлекательность которого для широкого круга исследователей проверены временем.
Определения, свойства и их следствия приводятся для одномерных функций, рядов данных. При необходимости все сказанное может быть обобщено на многомерные случаи. Для определённости мы говорим о функциях, зависящих от времени, о временных рядах и, соответственно, о частотах. Однако без нарушения общности независимая координата может быть пространственной и любой другой.
Напомним некоторые понятия. Пусть пространство квадратично интегрируемых функций с конечной энергией (нормой)
(1.1)
Это определение кусочно-непрерывной функции . Она может быть периодически расширена и определена на всей оси так, что
Любая функция из пространства -периодических квадратично интегрируемых функций может быть представлена в виде ряда Фурье:
(1.2)
Коэффициенты в (1.2) имеют вид
(1.3)
и ряд (1.2) равномерно сходится к :
Отметим, что
(1.4)
есть ортонормированный базис пространства , построенный с помощью масштабного преобразования единственной функции таким образом, что
Итак, каждая -периодическая квадратично интегрируемая функция может быть получена суперпозицией масштабных преобразований базисной функции т.е. является композицией синусоидальных волн с различными частотами (с коэффициентами, зависящими от номера гармоники).
Напомним, что для коэффициентов рядов Фурье выполняется равенство Парсеваля
(1.5)
1.1.1 Идея вейвлет-преобразования
Ряд Фурье использует в качестве базисных функций синусоиды и косинусоиды, представляемые комплексной экспонентой
(1.6)
Они предельно локализованы в частотной области (вырождаясь на спектрограмме в вертикальную линию), но очень плохо локализованы (точнее, вообще не локализованы) во временной области. Коэффициенты Фурье ряда (1.6) для произвольного сигнала вычисляются как:
Ряды Фурье плохо годятся для представления коротких локальных особенностей сигналов и функций, таких как перепады и скачки.
Прямо противоположный пример импульсная базисная функция (функция Кронекера):
Она чётко локализована во временной области и потому подходит для представления разрывов сигнала. Но эта базисная функция не несёт никакой информации о частоте сигнала и потому плохо приспособлена для представления медленно меняющихся сигналов на заданном отрезке времени и, тем более, периодических сигналов.
В этих показательных примерах базисные функции имеют один серьёзный и принципиальный недостаток они не способны адаптироваться к локальным изменениям сигналов. Этот же недостаток проявляется у всех методов аппроксимаций сигналов и функций от ряда Тейлора до рядов Фурье.
Несколько особняком стоит преобразование Габора. В нем в качестве базисной функции была использована синусоида, пропущенная через окно Гаусса (гауссиан). Такие функции могут быть локализованы и по частоте и по времени. Однако оказалось, что они в принципе не ортогональны и унаследуют недостатки синусоиды в части представления локальных особенностей сигналов. При этом функции анализа оказываются плохо обусловленными, что ведёт к большим ошибкам в ходе преобразований, результаты которых «размазываются» как по всей частотной, так и пространственной областях.
Таким образом, назрела острая необходимость в создании нового математического аппарата приближения функций и сигналов, свободного от указанных недостатков. Им и стали вейвлеты и вейвлет-преобразования.