Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Три лекции по вейвлетам (2011м).doc
Скачиваний:
20
Добавлен:
13.09.2019
Размер:
2.87 Mб
Скачать

1.1 Краткий экскурс в ряды Фурье. Предпосылки вейвлет-преобразования

Интегральное преобразование Фурье и ряды Фурье являются основой гармонического анализа. Получае­мые в результате преобразования коэффициенты Фурье поддаются достаточно простой физической интерпрета­ции, причём простота ни в коем случае не умаляет важности последующих выводов о характере исследуе­мого сигнала. Для большей наглядности будем вводить необходимые понятия вейвлет-анализа, проводя аналогии и сравнения с анализом Фурье, значимость и привлекательность которого для широкого круга исследователей проверены време­нем.

Определения, свойства и их следствия приводятся для одномерных функций, рядов данных. При необходимо­сти все сказанное может быть обобщено на многомерные случаи. Для определённости мы говорим о функциях, зависящих от времени, о временных рядах и, соответ­ственно, о частотах. Однако без нарушения общности независимая координата может быть пространственной и любой другой.

Напомним некоторые понятия. Пусть  пространство квадратично интегрируемых функций с конечной энер­гией (нормой)

(1.1)

Это  определение кусочно-непрерывной функции . Она может быть периодически расширена и определена на всей оси так, что

Любая функция из пространства -периодических квадратично интегрируемых функций может быть представлена в виде ряда Фурье:

(1.2)

Коэффициенты в (1.2) имеют вид

(1.3)

и ряд (1.2) равномерно сходится к :

Отметим, что

(1.4)

есть ортонормированный базис пространства , построенный с помощью масштабного преобразования единственной функции таким образом, что

Итак, каждая -периодическая квадратично инте­грируемая функция может быть получена суперпози­цией масштабных преобразований базисной функции т.е. является композицией синусоидальных волн с различными частотами (с коэф­фициентами, зависящими от номера гармоники).

Напомним, что для коэффициентов рядов Фурье выполняется равенство Парсеваля

(1.5)

1.1.1 Идея вейвлет-преобразования

Ряд Фурье использует в качестве базисных функций синусоиды и косинусоиды, представляемые комплексной экспонентой

(1.6)

Они предельно локализованы в частотной области (вырождаясь на спектрограмме в вертикальную линию), но очень плохо локализованы (точнее, вообще не локализованы) во временной области. Коэффициенты Фурье ряда (1.6) для произвольного сигнала вычисляются как:

Ряды Фурье плохо годятся для представления коротких локальных особенностей сигналов и функций, таких как перепады и скачки.

Прямо противоположный пример  импульсная базисная функция (функция Кронекера):

Она чётко локализована во временной области и потому подходит для представления разрывов сигнала. Но эта базисная функция не несёт никакой информации о частоте сигнала и потому плохо приспособлена для представления медленно меняющихся сигналов на заданном отрезке времени и, тем более, периодических сигналов.

В этих показательных примерах базисные функции имеют один серьёзный и принципиальный недостаток  они не способны адаптироваться к локальным изменениям сигналов. Этот же недостаток проявляется у всех методов аппроксимаций сигналов и функций  от ряда Тейлора до рядов Фурье.

Несколько особняком стоит преобразование Габора. В нем в качестве базисной функции была использована синусоида, пропущенная через окно Гаусса (гауссиан). Такие функции могут быть локализованы и по частоте и по времени. Однако оказалось, что они в принципе не ортогональны и унаследуют недостатки синусоиды в части представления локальных особенностей сигналов. При этом функции анализа оказываются плохо обусловленными, что ведёт к большим ошибкам в ходе преобразований, результаты которых «размазываются» как по всей частотной, так и пространственной областях.

Таким образом, назрела острая необходимость в создании нового математического аппарата приближения функций и сигналов, свободного от указанных недостатков. Им и стали вейвлеты и вейвлет-преобразования.