3.3 Кратномасштабный анализ

Процесс декомпозиции дискретной последовательности зна­чений (такой как цифровое изображение) в «размытые», или средние значения, и детализирующие значения при различ­ных масштабах называется кратномасштабным анализом (multiresolution analysis). В этом разделе мы проиллюстриру­ем кратномасштабный анализ на простом примере, получен­ном на основе вейвлетов Хаара.

Обозначим через пространство всех функций, постоянных на интервале [0, 1). Тогда  это векторное пространство функций. То есть если мы сложим две постоянные функции, то сумма будет постоянной функцией и также будет принад­лежать . И если мы умножим постоянную функцию на число (скаляр), то произведение будет постоянной функцией и будет принадлежать . Базисная масштабирующая функ­ция принадлежит . Фактически каждый элемент про­странства может быть получен умножением на подхо­дящую константу. Таким образом, составляет (довольно тривиальный) базис пространства .

А теперь рассмотрим несколько более сложное пространство функций. Пусть  пространство кусочно-постоянных функций, являющихся константами на интервалах [0, ½) и [½, 1).  это тоже векторное пространство функций. Примером элемента пространства является функция , определённая уравнением (3.10). Масштабирующие функ­ции и также являются элементами пространства . Из этого уравнения следует, что все остальные элементы пространства могут быть представлены линейной комби­нацией функций и Можно показать, что функции образуют базис пространства . Заметим также, что функция, постоянная на интервале [0, 1), является посто­янной и на каждом из интервалов [0, ½) и [½, 1), поэтому каждый элемент является элементом , то есть

V⁰  V¹.

Продолжая дальше таким же образом, определим как про­странство кусочно-постоянных функций на интервалах [0, ¼), ..., [¾, 1), и как пространство кусочно-постоянных функций на равноотстоящих интервалах длиной 1/2ⁿ. Каждое  это векторное пространство, и масштаби­рующие функции образуют базис в про­странстве . Кроме того, пространства последовательно вложены друг в друга:

Теперь мы определим скалярное произведение элементов пространства :

(3.14)

Векторное пространство с введённым в нем скалярным про­изведением называется евклидовым пространством. Две функции называются ортогональными относительно скалярного произведения если

Ортогональность функций полезна по нескольким причинам. Прежде всего, заметим что, например,

,

так что образуют ортогональный базис для . Фактически для каждого и мы имеем

так что образуют множество взаимно ортогональных оазисных векторов в . Заметим также, что

при .

Ортогональность полезна и по другой причине. Для данного евклидова пространства , принадлежащего большему евкли­дову пространству , мы можем говорить о множестве векто­ров в , ортогональных всем векторам в . Это множество на­зывается ортогональным дополнением пространства в про­странстве и обозначается (недостаток этого обозначения в том, что оно не отражает подразумеваемой связи с пространст­вом , поэтому иногда оно обозначается как . Нетрудно проверить, что само является векторным пространством (а также и евклидовым пространством).

Рассмотрим следующее пространство

для всех .

Таким образом, определено как ортогональное дополне­ние пространства в пространстве . Мы уже знакомы с некоторыми элементами . Рассмотрим . Заметим, что длины интервалов, на которых постоянна, составляют половину длины интервалов, на которых элементы простран­ства являются константами. Другими словами, при каждом j. Более того, легко убедиться в том, что для каждого и, таким образом, при каждом и каждом . Рассмотрим, например,

где являются скалярными константами. Тогда

так как

и

Таким образом, и, аналогично, . Анало­гично доказывается, что

Какова размерность ? Очевидно, она не больше, чем раз­мерность так как Таким образом, размер­ность не может быть больше, чем (мы говорим здесь о размерности векторного пространства, т.е. о количестве элементов в базисе, в отличие от фрактальной размерности, о которой говорилось в предыдущих главах). Так как образуют множество из взаимно орто­гональных и, следовательно, независимых векторов в , то размерность равна, по крайней мере, . Но это и наи­большая возможная размерность , так как в сущест­вует другое множество взаимно ортогональных векторов, а именно и каждый из этих векторов также ортогонален каждому из векторов . Любой вектор из , который не может быть выражен через может быть выражен через а это невозможно.

Мы пришли к следующему заключению: размерность пространства равна и являются базисом в .

Вейвлет-функции образуют базис пространства , ортогонального дополнения в . В подразделе 3.2 вейвлеты были представлены как средство восстановления деталей при уменьшении разреше­ния. Здесь вейвлеты выступают как базис ортогонального дополнения пространства функций, определённых при дан­ном разрешении. Это ортогональное дополнение можно рас­сматривать как детали, которые теряются при переходе от одного уровня разрешения к другому, более низкому уров­ню разрешения. Фактически вейвлеты можно определить как любые базисные функции для этого ортогонального дополнения.

Побочный результат изложенного выше в том, что мы на­толкнулись на альтернативный базис для пространства более высокого разрешения . Мы уже знаем, что один базис это Альтернативным базисом яв­ляется:

(3.15)

Мы можем представить себе один шаг процесса вейвлет-преобразования, а именно шаг, состоящий в переходе от раз­решения к более низкому разрешению , как представ­ление элемента в базисе, который задаётся урав­нением (3.15). Предположим, что первоначально был выражен как:

Тогда может быть разложен по базису (3.15), например, таким образом:

Коэффициенты становятся частью вейвлет-преобразования. На следующем шаге этого процесса мы бы получили выражение

через и .