Лекция 1

0 Вводные замечания

Вейвлет-преобразование одномерного сигнала состо­ит в его разложении по базису, сконструированному из обладающей определёнными свойствами функции (вейвлета) посредством масштабных изменений и переносов. Каждая из функций этого базиса характеризует как определённую пространственную (временную) частоту, так и её локализацию в физическом пространстве (времени).

В отличие от традиционно применяе­мого для анализа сигналов преобразования Фурье вейвлет-преобразование обеспечивает двумерную развёртку исследуемого одномерного сигнала, при этом частота и координата рассматриваются как независимые перемен­ные. В результате появляется возможность анализиро­вать свойства сигнала одновременно в физическом (время, координата) и в частотном пространствах.

Приведём понятия, которые будут встречаться в дальнейших лекциях достаточно часто, и запишем некоторые обозначения.

1 Числовые последовательности , которые рассматриваются в теории вейвлетов, являются «бесконечными в обе стороны», т.е. номер может принимать любые целые значения . Числовой ряд называется сходящимся, если существует предел .

Степенные ряды рассматриваются как формальные, т.е. они содержат отрица­тельные степени и обозначаются:

2 Функции являются, вообще говоря, комплекснозначными и определены на множестве действительных чисел.

Носителем непрерывной функции (обозначается фактически является область её определения. Например, если определена при и при и невелико, то говорят, что функция имеет компактный носитель. Если или , или имеет место и то и другое, то функция компактного носителя не имеет.

Введение понятия компактного носителя ценно в связи с возможностью замены бесконечных пределов интегрирования в преобразованиях Фурье и в вейвлет-преобразованиях на конечные пределы. Это нередко упрощает вычисления и делает математические преобразования корректными исходя из практических соображений.

3 Пространство означает, что функция удовлетворяет условию,

К примеру, часто используемое гильбертово пространство означает; что удовлетворяет условию

Могут встречаться и иные пространства, например, означает, что удовлетворяет условию:

Практически можно считать, что в нашем случае  любая кусочно-непрерывная функция. Она может быть периодической. Например, на периоде периодической будет функция, удовлетворяющая равенству . Множество функций из называют пространством -периодических функций, интегрируемых с квадратом.

Примером такой функции является и комплексная синусоида , где мнимая единица. Синусоида является функцией периодически продолжаемой на всю вещественную ось . Однако, пространству синусоида не принадлежит, поскольку из условия определения этого пространства следует, что принадлежащие ему функции должны затухать при Синусоида таким свойством не обладает.

4 Векторное пространство называется евклидовым, если в нём задано скалярное произведение . В этом случае для любого элемента определена норма и сходимость: , если . Пространство называется гильбертовым, если оно является полным относительно определённой выше сходимости.

Система элементов в гильбертовом пространстве называется ортонормированной, если

В последней формуле называется символом Кронекера.

Ортонормированная система в гильбертовом пространстве называется полной, если замыкание множества всех линейных комбинаций элементов из совпадает с пространством . Другими словами, если является наименьшим зам­кнутым пространством, содержащим . Полная ортонормированная система называется ортонормированным базисом гильбертова пространства .

Примером ортогонального базиса может служить система функций в гильбертовом пространстве функций на , интегрируемых с квадратом.

Бесконечно-размерное пространство, часто используемое в теории вейвлетов, называется гильбертовым пространством . Вейвлет-функции , принадлежащие пространству принципиально должны иметь нулевое среднее значение (интеграл) и затухать на бесконечности. Именно это свойство побудило считать вейвлеты короткими волнами.

5 Ввиду ограниченности действия вейвлетов они могут покрывать всю вещественную ось или её достаточно большую часть только в том случае, если обладают возможностью сдвига по этой оси. К этому стоит добавить возможность масштабирования (сжатия/растяжения), которое можно уподобить изменению частоты гармоник в рядах Фурье, приближающих сигналы или функции. При наличии этих свойств вейвлеты обеспечивают своё главное преимущество перед синусоидами: возможность представления локальных особенностей функций и сигналов.

Функцию (сигнал) часто проще анализировать, если представить её в виде линейной комбинации функций из некоторой системы функций разложения

(0.1)

где индекс суммирования принимает конечное или бесконечное множество целых значений (обычно термин «линейная комбинация» употребляется лишь в том случае, если сумма в правой части (0.1) конечная, а в случае бесконечного числа слагаемых принято говорить о разложении в ряд), вещественные числа называются коэффициентами разложения, а сами функции принимают вещест­венные значения и называются функциями разложения. Если разложе­ние единственно, т.е. для любой заданной функции существует единственный набор коэффициентов такой, что выполнено (0.1), то функции называются базисными функциями, а все множество функций разложения называется базисом в том классе функ­ций, которые могут быть представлены таким образом. Представимые в виде (0.1) функции образуют пространство функций, которое назы­вается замыканием линейной оболочки функций или пространством, натянутым на систему функций , и обозначается

(0.2)

Запись означает, что функция принадлежит замыканию ли­нейной оболочки функций и может быть записана в виде (0.1).

Для любого пространства функций соответствующей системы функций разложения существует двойственная система функ­ций , которая может быть использована для вычисления коэф­фициентов разложения в (0.1) любой функции . Эти коэффи­циенты вычисляются как скалярные произведения (скалярное произведение двух вещественных или комплекснозначных функции и задаётся выражением . Если функция вещественная и ) двойственных функций (см. подразделы 2.1.1, 2.1.2 лекции 2) и функции , а именно

(0.3)

где символ * означает операцию комплексного сопряжения (в любом из трёх рассматриваемых ниже случаев (т.е. когда система функций раз­ложения образует ортонормированный базис, базис Рисса или фрейм (каркас)) приведённое утверждение справедливо).

Случай 1. Система функций образует в пространстве ортонормированный базис, т.е.

(0.4)

В этом случае двойственная система функций совпадает с исходным ортонормированным базисом, , и формула (0.3) при­нимает вид

. (0.5)

Коэффициенты вычисляются как скалярные произведения базис­ных функций и функции .

Случай 2. Система функций не является ортогональной, т.е. некоторые из условий

(0.6)

нарушаются, но образует в пространстве базис Рисса (базис в гильбертовом пространстве называется базисом Рисса, если он является бе­зусловным, т.е. порядок, в котором производится суммирование в (0.1), не имеет значения. Базис Рисса может быть охарактеризован следующим требованием: суще­ствуют такие, что для любой функции выполнено приводимое ниже в тексте условие (0.8). Базисы Рисса  следующие после ортонормированных «хо­рошие» базисы. Отметим, что 1) в конечномерном пространстве любой базис явля­ется базисом Рисса и 2) если , то базис Рисса является ортонормированным базисом). Тогда двой­ственная система функций также образует базис Рисса, и вместе они образуют так называемую биортогональную систему, что означает выполнение условий

(0.7)

Коэффициенты вычисляются по формуле (0.3).

Случай 3. Система функций , участвующих в разложении (0.1), не является базисом, т.е. существует более одного набора ко­эффициентов разложения для функций . В этом случае го­ворят, что система функций разложения является переполненной или избыточной. Если существуют константы такие, что для всех функций выполнено условие (норма функции определяется как квадратный корень из скалярного произве­дения функции на себя и обозначается символом

(0.8)

то функции разложения образуют фрейм (константы и называются границами фрейма. Заметим также, что при опре­делении фрейма прямо не требуется, чтобы множество было переполнен­ным, требуется только выполнение приведённого условия. Однако если множест­во не переполнено, т.е. функции образуют базис, то фрейм превращается в базис Рисса и мы попадаем в ситуацию, рассмотренную в Случае 2). В этом случае система двойственных функций также переполнена и образует двойственный фрейм (границами двойственного фрейма являются константы и ). Разделив неравенство (0.8) на квадрат нормы функции , мы видим, что константы и ограничивают сумму квадратов моду­лей коэффициентов разложения нормированной функции. Для вы­числения коэффициентов разложения можно использовать форму­лы (формулы разложения имеют вид , аналогичные (0.3) и (0.5). Если границы фрейма равны, , то фрейм называется жёстким фреймом, и можно показать, что в этом случае

(0.9)

С точностью до множителя , который является «мерой избыточ­ности» фрейма, последнее выражение совпадает по форме с выраже­нием, которое можно получить, подставив выражение (0.5) (для ортонормированных базисов) в разложение (0.1) (то обстоятельство, что выражение (0.9) весьма похоже на разложение функции по ортонормированному базису, не должно вводить в заблуждение. Даже жёсткие фреймы не являются ортонормированными базисами. Однако если жёсткий фрейм состоит из нормированных функций и его границы , то такой фрейм является ортонормированным базисом).

6 Числовыми характеристиками сигнала являются так называемые моменты. Начальным моментом порядка сигнала называ­ется интеграл

Центральным моментом порядка называется интеграл

Момент первого порядка имеет смысл математического ожидания . Цент­ральный момент второго порядка имеет смысл дисперсии и характеризует раз­брос значений относительно .

7 Сигнал называется дискретным, если аргумент принимает дискретный ряд значений , . Тогда сигнал есть последовательность значений . Эти значения называются отсчётами (sampling), или выборкой.

Дискретизация непрерывного сигнала  это замена его выборкой . Эта процедура называется также оцифровкой аналогового сигнала.