4.8. Пример анализа надежности системы.

П од надежностью понимают вероятность объекта или процесса полностью выполнять возложенные на него функции. Различают системы с восстановлением т.е. с ремонтом и обслуживанием и системы без восстановления. Граф системы без восстановления имеет вид:

Рис. 4.9 Граф системы без восстановления

Обозначения:S1 - состояние работоспособности системы;S2 - состояние отказа системы;P1 - надежность системы;P2 -вероятность отказа системы; - интенсивность отказа системы^*.

Уравнения вероятностей состояния по графу рис.4.9 будут иметь вид:

(4.30)

Откуда:

(4.31)

Рис.4.10. Графики надежности системы без восстановления.

Время наработки на отказ .

Граф системы с восстановлением будет иметь вид:

Рис. 4.10. Граф системы с восстановлением.

Система уравнений Колмогорова:

(4.32)

В операторной форме система (4.32.) записывается в виде:

z P₁(z)+P₁(z)-P₂(z)=1

zP₂(z)+P₂(z)-P₁(z)=0

где z – оператор Лапласа;

Изображение производных получено по правилу

zP(z)-P(0),

где Р(0) значение вероятностей при t=0. В данном случае Р₁(0)=1; Р₂(0)=0.

Из 2-го уравнения системы (4.34)

(4.34)

Подставим Р₂(z) из (4.34) в первое уравнение системы (4.33), получим:

(4.35)

Умножим и разделим правую часть P₁(z) на постоянную величину равную ( +)

Используем таблицу оригиналов и изображений:

Оригинал решения системы дифференциальных уравнений (4.32) будет:

Рис. 4.11 Графики надежности:

1 – система без восстановления;

2 – система с восстановлением;

– коэффициент готовности системы.

*Примечания Величина находится по правилам последовательного и параллельного соединения элементов в системе.

При последовательном соединении отказ одного элемента приводит к отказу всей системы.

Интенсивность отказов в системе  находится по формуле:

, (4.36)

где _i – интенсивность отказа i -го элемента; N - число элементов в системе.

Надежность системы без восстановления при последовательном соединении элементов:

, (4.37)

где Р_i - вероятность безотказной работы i -го элемента

Формула (4.36) может быть получена из формулы (4.37)

(4.38)

(4.39)

Паралленым называется соединение элементов с резервированием, когда отказ элемента не приводит к отказу всей системы.

При параллельном соединении злементов, вероятность отказа системы:

, (4.40)

где Q_i - вероятность отказа i -го элемента; N - число параллельно соединенных элементов.

Вероятность безотказной работы или надежность системы из N-параллельно соединенных элементов.

(4.41)

Анализ формул (4.37) и (4.41) показывает, что с возрастанием числа N последовательно соединенных элементов надежность системы уменьшается, а с возрастанием числа N параллельно соединенных элементов надежность системы увеличивается.