38 Понятие о дифференциальных уравнениях.Виды решения. Теорема Коши.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких - то уравнением в частных производных.

Например, уравнение 2xy'-3y=0', где y=y(x), является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, а u'x-u'y+1=0, где u=u(x,y), дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка.

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде: F(x,y,y',…,у(n))=0, (1)

где F - некоторая функция от n+2 переменных, n1, при этом порядок n старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения. Например, задача о нахождении первообразной приводит к дифференциальному уравнению первого порядка, уравнение x2(y''')4-x(y')5+8=0 третьего порядка и т.д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение n-го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид: y(n)=F(x,y,y',…,y(n-1))

где F –некоторая функция от n+1 переменной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решением дифференциального уравнения (1) называется такая функция y=y(x), которая при подстановке её в это уравнение обращает его в тождество. Например, функция y=sinx является решением уравнения y''+y=0, так как (sinx)''+sinx=0 для любых х.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Пример 1. Решить уравнение у''=х.

Поскольку y''=, то исходное уравнение равносильно следующему равенству дифференциалов: dy'=xdx. Выполняя почленное интегрирование, получаем y'=+C1, где C1 произвольная постоянная. Вновь записывая производную как отношение двух дифференциалов, приходим к равенству dy=(+C1)dx. Интегрируя почленно, окончательно получаем y=+C1x+C2, где C1 - произвольная постоянная.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Общим решением дифференциального уравнения (1) n-го порядка называется такое решение:

y=φ(x,C1,…,Cn) (2)

которое является функцией переменной x и n произвольных независимых постоянных C1,C2,…,Cn. (Независимость постоянных означает отсутствие каких - либо соотношений между ними). Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных C1,C2,…,Cn.

В примере 1 y=+C1x+C2 - общее решение, y=+2x+1 - частное решение дифференциального уравнения у''=х.

. Частное решение дифференциального уравнения Частным решением дифференциального уравнения на интервале называется каждая функция y(x), которая при подстановке в уравнение вида обращает его в верное тождество на интервале .

Зная общее решение однородного дифференциального уравнения и любое частное решение неоднородного уравнения, можно получить общее решение неоднородного уравнения в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Общее решение дифференциального уравнения Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида обращает его в тождество. Если каждое