- •1 Функция нескольких переменных.
- •2. Частное и полное приращение
- •3. Предел и непрерывность функции двух независимых переменных
- •4.) Частные производные. Функции двух переменных.
- •5.) Полный дифференциал функции. Функции двух переменных.
- •6.) Частные производные высших порядков. Функции двух переменных.
- •7.) Градиент функции трех переменных.
- •8.) Производная функции по направлению.
- •9.) Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условие всех первообразных.
- •Вопрос 15 Простейшие рациональные и их интегрирование
- •Вопрос 16 Разложение правильной дроби на простейшие Определение 1.
- •19.Интегралы вида
- •21.Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок
- •22Интегрирование простейших иррациональных выражений
- •24 Понятие интегральной суммы
- •26 Методы вычисления определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
- •27 Метод замены переменной для определенного интеграла
- •Вопрос 28. Интегрирование по частям определенного интервала
- •Вопрос 29. Вычисление площадей плоских фигур
- •Вопрос 30. Несобственные интегралы I рода
- •Вопрос 31. Несобственные интегралы II рода
- •Вопрос 32. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Есть в тетради. Называется Геометрич. Приложения определенного интеграла
- •Вопрос 33. Пусть требуется найти определенный интегралот непрерывной функции ƒ(х). Если можно найти первообразную f(X) функции ƒ(х), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
- •Вопрос 36. Комплексная плоскость. Арифметические действия над комплексными числами. Комплексная плоскость
- •37 Тригометрическая и показательная формы комплексного числа
- •38 Понятие о дифференциальных уравнениях.Виды решения. Теорема Коши.
- •39 Неполные дефференциальные уравнения и методы решения
- •40 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •41 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •42. Первого порядка.
- •43 Однородные дифференциальные уравнения второго порядка
- •44.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •45. Числовые ряды.
- •46 Гармонический ряд. Ряд арифметической прогрессии.
- •47 Ряды с положительными членами
- •49. Функциональные ряды…… .
- •50. Степенной ряд. Признаки сходимости. Область сходимости.
- •51. Ряд Маклорена …
- •52. Ряд Тейлора…
- •53.Применение рядов для приближенного вычисления определенных интегралов
Вопрос 32. Геометрические приложения определенного интеграла
1.1. Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b]. Тогда площадь фигуры, ограниченной осью ОХ, отрезками прямых x = a, x = b и графиком функции , может быть вычислена по формуле (см. 10.1 рис. 1).
1.2. Если на отрезке [a, b], непрерывные функции, то площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, x = b, графиками функций вычисляется по формуле (рис. 10).
1.3. Если функция на отрезке [a, b] принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключенная между кривой и осью , равна (рис. 11).
Рис. 10 Рис. 11
1.4. Объем тела вращения
если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела
Есть в тетради. Называется Геометрич. Приложения определенного интеграла
Вопрос 33. Пусть требуется найти определенный интегралот непрерывной функции ƒ(х). Если можно найти первообразную f(X) функции ƒ(х), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
Но отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кроме того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих и других случаях (например, функция у = ƒ(х) задана графически или табличнo) прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.
Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближенного вычисления определенного интеграла — формулу прямоугольников, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле определенного интеграла.
42.1. Формула прямоугольников
П усть на отрезке [а; b], а < b, задана непрерывная функция ƒ(х). Требуется вычислить интегралчисленно равный площади соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой трапеции, т. е. отрезок [а; b], на n равных частей (отрезков) длины (шаг разбиения) с помощью точек х0 = а, x1, х2,..., хn = b. Можно записать, что хi= х0+h• i, где i = 1,2,..., n (см. рис. 200).
В середине каждого такого отрезка построим ординату ŷi =ƒ(сi) графика функции у = ƒ(х). Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью h • ŷi.
Тогда сумма площадей всех n прямо угольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла
Формула (42.1) называется формулой средних прямоугольников.
42.2. Формула трапеций
Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.
Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей длины Абсциссы точек деления а = х0, x1,х2,...,b = хn (рис. 201). Пусть у0,у1...,уn —
соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений примут вид хi = a+h*i, уi=ƒ(xi), i= 0,1,2,..., n;
Заменим кривую у=ƒ(х) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат yi и yi+1 (i = 0,1,2,.. .,n). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями уi, yi+1 и высотой
или
Формула (42.2) называется формулой трапеций.
42.3. Формула парабол (Симпсона)
Если заменить график функции у=ƒ(х) на каждом отрезке [xi-1;xi] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления интеграла
Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы у = ах2 + bх + с, сбоку — прямыми х = —h, х = h и снизу — Отрезком [-h; h].
Пусть парабола проходит через три точки M1(-h;у0), М2(0; y1), М3(h; у2), где у0 = ah2 -bh + c — ордината параболы в точке х = -h; y1 = с — ордината параболы в точке х = 0; у2 = аh2 + bh+c — ордината параболы в точке х = h (см.рис 202). Площадь S равна
Выразим эту площадь через h, у0, y1, у2. Из равенств для ординат у (находим, что с=y1,
Подставляя эти значения с и а в равенство (42.3), получаем
Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла
Для этого отрезок [а; b] разобьем на 2n равных частей (отрезков) длиной точками xi=х0 + ih (i= 0,1,2,..., 2n). В точках деления а = х0, x1, x2,..., x2n-2 ,x2n-1, x2n = b вычисляем значения подынтегральной функции ƒ(х): у0, у1,у2,..., у2n-2, у2n-1, у2n, где уi=ƒ(хi) (см. рис. 203).
Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2h. На отрезке [х0;х2] парабола проходит через три точки (х0;у0), (x1;y1), (x2;y2). Используя формулу (42.4), находим
Аналогично находим
Сложив полученные равенства, имеем
или
Формула (42.5) называется формулой парабол (или Симпсона).
Абсолютная погрешность вычисления по формуле (42.5) оценивается соотношением
Отметим, что формула (42.5) дает точное значение интеграла во всех случаях, когда ƒ(х) — многочлен, степень которого меньше или равна трем (тогда fIV = 0)
Вопрос 34. Определение двойного интеграла. Свойства двойного интеграла
Двойной интеграл - это обобщение определенного интеграла на двумерный случай. Т.е. для определения понятия двойного интеграла используется функция, зависящая уже от двух переменных: f(x,y). Эта функция должна быть определена на некоторой, обладающей конечной площадью, области D плоскости X0Y. При этом граница области D должна состоять из конечного числа графиков непрерывных функций.
Обозначение двойного интеграла
Двойной интеграл обладает следующими свойствами:
, где k - константа;
Если в области R, то ;
Если в области R и (рисунок 4), то ;
Если на R и области R и S являются непересекающимися (рисунок 5), то . Здесь означает объединение этих двух областей.
В тетради – «Кратные интегралы. Двойной интеграл»
Вопрос 35. Вычисление двойного интеграла с помощью повторного
В тетради – «Вычисление двойного интеграла методом повторного интегрирования»