51. Ряд Маклорена …

Ряды Маклорена некоторых функций

Экспонента:

Натуральный логарифм:

для всех

Биномиальное разложение:

для всех и всех комплексных где

В частности:

Квадратный корень:

для всех

для всех | x | < 1

Конечный геометрический ряд:

для всех

Тригонометрические функции:

для всех где B2n — Числа Бернулли

для всех

для всех

для всех

Гиперболические функции:

для всех

для всех

для всех

52. Ряд Тейлора…

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Определение

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции f в точке a.

Свойства

Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.

Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Например, Коши предложил такой пример:

У этой функции все коэффициенты ряда Тейлора равны нулю.

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

• Пусть функция f(x) имеет n + 1 производную в некоторой окрестности точки a, U(a,ε)

• Пусть

• Пусть p — произвольное положительное число,

тогда: точка при x < a или при x > a:

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

Ослабим предположения:

Пусть функция f(x) имеет n − 1 производную в некоторой окрестности точки a

И n производную в самой точке a, тогда:

— остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано, в локальной форме)

53.Применение рядов для приближенного вычисления определенных интегралов

Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд, и затем проинтегрировать его почленно.

Так как , то для требуемой точности достаточно первых пяти членов полученного ряда: