- •1 Функция нескольких переменных.
- •2. Частное и полное приращение
- •3. Предел и непрерывность функции двух независимых переменных
- •4.) Частные производные. Функции двух переменных.
- •5.) Полный дифференциал функции. Функции двух переменных.
- •6.) Частные производные высших порядков. Функции двух переменных.
- •7.) Градиент функции трех переменных.
- •8.) Производная функции по направлению.
- •9.) Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условие всех первообразных.
- •Вопрос 15 Простейшие рациональные и их интегрирование
- •Вопрос 16 Разложение правильной дроби на простейшие Определение 1.
- •19.Интегралы вида
- •21.Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок
- •22Интегрирование простейших иррациональных выражений
- •24 Понятие интегральной суммы
- •26 Методы вычисления определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
- •27 Метод замены переменной для определенного интеграла
- •Вопрос 28. Интегрирование по частям определенного интервала
- •Вопрос 29. Вычисление площадей плоских фигур
- •Вопрос 30. Несобственные интегралы I рода
- •Вопрос 31. Несобственные интегралы II рода
- •Вопрос 32. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Есть в тетради. Называется Геометрич. Приложения определенного интеграла
- •Вопрос 33. Пусть требуется найти определенный интегралот непрерывной функции ƒ(х). Если можно найти первообразную f(X) функции ƒ(х), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
- •Вопрос 36. Комплексная плоскость. Арифметические действия над комплексными числами. Комплексная плоскость
- •37 Тригометрическая и показательная формы комплексного числа
- •38 Понятие о дифференциальных уравнениях.Виды решения. Теорема Коши.
- •39 Неполные дефференциальные уравнения и методы решения
- •40 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •41 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •42. Первого порядка.
- •43 Однородные дифференциальные уравнения второго порядка
- •44.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •45. Числовые ряды.
- •46 Гармонический ряд. Ряд арифметической прогрессии.
- •47 Ряды с положительными членами
- •49. Функциональные ряды…… .
- •50. Степенной ряд. Признаки сходимости. Область сходимости.
- •51. Ряд Маклорена …
- •52. Ряд Тейлора…
- •53.Применение рядов для приближенного вычисления определенных интегралов
9.) Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условие всех первообразных.
Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой области D, точка N0(x0;y0) D. Точка N0(x0;y0) называется точкой максимума функции z=f(x,y), если существует δ - окрестность точки N0(x0;y0), что для каждой точки (x,y), отличной от N0(x0;y0), из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)0;y0). Аналогично определяется точка минимума функции, т.е. если выполняется неравенство f(x,y)>f(x0;y0), то N0(x0;y0) - точка минимума.
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумом.
Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N0(x0;y0) дифференцируемая функция z=f(x,y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f'x(x0;y0)=0, f'y=(x0;y0)=0.
Вопрос 10 Определение первообразной. Теорема о множестве всех первообразных. Первообра́зной или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием. Свойства первообразной 1.Первообразная суммы равна сумме первообразных 2.Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции 3.Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции f является непрерывность f на этом отрезке 4.Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции f первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу 5.У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную. Для первообразных справедлива следующая теорема о множестве первообразных: Каждой функции f (x) может быть сопоставлено бесконечное множество ее первообразных. Пусть у нас F1 (x) u F2 (x) две какие –то первообразные, причем F 1′ (х)= f (x) и причем F 2′ (х)= f (x) тогда докажем, что разность между двумя первообразными F2 (x) - F1 (x)= С [F2 (x) - F1 (x)= С] F 2′ (х)- F 1′ (х)=0 f (x)- f (x)=0 Обычно эту теорему формулируют так: F2 (x)= F1 (x)+С В общем случае выражение F1 (x)+С называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается таким образом - называется знаком интеграла;
f(x) - называется подынтегральной функцией;
f(x)dx - называется подынтегральным выражением;
Вопрос 11 Неопределенный интеграл и его свойства. Введение Понятие интеграла в виде определенного интеграла исторически возникло в конце 16 века. Возникновение его было вызвано высоким уровнем объемов торговли в частности торговли вином. Купцы, продавая или покупая вино в бочках в виду разнокалиберности объемов этих бочек, несли большие убытки, так как приходилось перемерять каждую бочку. Поэтому в городе Аутсбурге виноторговцы поручили учителю Кеплеру, используя методы интегрального исчисления по измерениям нородных размеров сделая метод определения объема вина без его переливания. Таким образом возникло интегральное исчисление в развитии которого решающую роль оказали Ньютон и Лейбниц. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом . Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то , где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением. Геометрически неопределенный интеграл y = F(x) + C представляет собой семейство “параллельных” кривых. Свойства неопределенного интеграла: 1.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.
, . 2.Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого.
В самом деле, пусть
,
где j/(х) - непрерывна. Тогда j(х) очевидно является первообразной для j/(х). Поэтому
. 3.Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.
Ecли k = const, тогда 4.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций.
Вопрос 12 Метод непосредственного интегрирования. Простейшие правила интегрирования. 1. ( ); 2. Для доказательства правил 1,2 достаточно продифференцировать выражения, стоящие справа от знака равенства и убедиться, что эти выражения являются первообразными для функций, стоящих слева. 3. Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого: если , то (Док-во: если , то ). 4.Подведение под знак дифференциала постоянного множителя: если , то (Док-во: если , то ). Метод непосредственного интегрирования Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных пpeобpaзoвaний подынтегральной фyнкции (или выражения) и применения свойств нeoпpеделeннoгo интеграла приводится к oднoмy или нескольким табличным интегралам, называется нeпоcpeдcтвeнным uнmeгpирoванием. Обычно постоянное интегрирование подставляют в конце ответа.
Вопрос 13 Метод замены переменной. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменных)заключается во введении новой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки). Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно oпpeделить подстановку пpиобpетaeтcя практикой.
Пусть тpебyетcя вычислить интеграл Сделаем подстановку х =φ(t), где φ(t) - функция, имеющая непрерывную производную. Тогда dx=φ'(t) dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопpeделeннoгo интеграла получаем формулу интегриpoвaния подcтaнoвкoй Формула также называется формулой замены переменных в неопределeннoм интеграле. Пoслe нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной х. Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t= φ(х), тогда Другими слoвaми, формулу можно применять справа налево. Пример Найти Решение: Положим х=4t, тогда dx=4 dt.следовательно
В опрос 14 Интегрирование по частям. Пусть u=u(х) и ν=v(х) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv)=u•dv+v•du. Интегрируя это равенство, получим
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться существенно более простым, чем исходный. Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо обpaзoм в виде произведения двух сомножителей и и dv (это, как правило, можно осуществить несколькими cспособами); затем, после нахождения ν и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз. Укажем некоторые типы интегралов, которые удюбно вычислять методом интегрирования по частям. 1. Интегралы вида где Р(х) - многочлен, К - число. Удобно положить u=Р(х), а за dv обoзнaчить все остальные сомножители.
2 .Интегралы вида Удобно положить Р(х)dx=dv, а за u обозначить остальные сомножители.
3 . Интегралы вида , где а и b - числа. За и можно принять функцию=еα х.