- •1 Функция нескольких переменных.
- •2. Частное и полное приращение
- •3. Предел и непрерывность функции двух независимых переменных
- •4.) Частные производные. Функции двух переменных.
- •5.) Полный дифференциал функции. Функции двух переменных.
- •6.) Частные производные высших порядков. Функции двух переменных.
- •7.) Градиент функции трех переменных.
- •8.) Производная функции по направлению.
- •9.) Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условие всех первообразных.
- •Вопрос 15 Простейшие рациональные и их интегрирование
- •Вопрос 16 Разложение правильной дроби на простейшие Определение 1.
- •19.Интегралы вида
- •21.Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок
- •22Интегрирование простейших иррациональных выражений
- •24 Понятие интегральной суммы
- •26 Методы вычисления определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
- •27 Метод замены переменной для определенного интеграла
- •Вопрос 28. Интегрирование по частям определенного интервала
- •Вопрос 29. Вычисление площадей плоских фигур
- •Вопрос 30. Несобственные интегралы I рода
- •Вопрос 31. Несобственные интегралы II рода
- •Вопрос 32. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Есть в тетради. Называется Геометрич. Приложения определенного интеграла
- •Вопрос 33. Пусть требуется найти определенный интегралот непрерывной функции ƒ(х). Если можно найти первообразную f(X) функции ƒ(х), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
- •Вопрос 36. Комплексная плоскость. Арифметические действия над комплексными числами. Комплексная плоскость
- •37 Тригометрическая и показательная формы комплексного числа
- •38 Понятие о дифференциальных уравнениях.Виды решения. Теорема Коши.
- •39 Неполные дефференциальные уравнения и методы решения
- •40 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •41 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •42. Первого порядка.
- •43 Однородные дифференциальные уравнения второго порядка
- •44.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •45. Числовые ряды.
- •46 Гармонический ряд. Ряд арифметической прогрессии.
- •47 Ряды с положительными членами
- •49. Функциональные ряды…… .
- •50. Степенной ряд. Признаки сходимости. Область сходимости.
- •51. Ряд Маклорена …
- •52. Ряд Тейлора…
- •53.Применение рядов для приближенного вычисления определенных интегралов
44.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение (16)
где коэффициенты – постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Если , то уравнение (16) называется неоднородным.
Если , то уравнение (16) называется однородным.
I. Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
(17)
Общим решением уравнения (17) является функция
(18)
где – фундаментальная система решений уравнения (17).
Фундаментальной системой решений называется всякая система линейно независимых решений, содержащая столько функций, каков порядок дифференциального уравнения.
Функции называются линейно зависимыми в интервале , если существуют постоянные числа , не все равные нулю, такие что для любых . Если же указанное тождество выполняется только в случае, когда и , то функции называются линейно независимыми в интервале .
Кратко критерий линейной независимости может быть сформулирован следующим образом: функции являются линейно независимыми, если определитель Вронского
отличен от нуля. В противном случае функции линейно зависимы.
45. Числовые ряды.
Определение ряда и его сходимостьВ настоящей главе обобщим понятие суммы на некоторые случаи бесконечного числа слагаемых и изучим свойства таких сумм.
Определение 1. Пусть задана последовательность чисел.
а1, а2, а3,..., аn,... (1.1)
Выражение вида
(1.2)
называется рядом, а число аn - его n-ным членом, n = 1,2,... .
Сразу же заметим, что в нашем случае (1.2) - числовой ряд. Если же последовательность есть последовательность функций, то ряд называется функциональным (аn = fn(x), n = 1,2,...).
Примеры.
аn = а×qn-1, .
Понятно, что изучение функциональных рядов всегда можно свести к изучению числовых рядов, зафиксировав х = х0.
Ряд (1.2) считается заданным, если мы знаем его общий член аn (то есть член, стоящий на n-ном месте). Из теории последовательностей мы знаем, что аn выражается как функция номера n.
Определение 2. Конечная сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой, а оставшиеся члены, начиная с n + 1, написанные в том же порядке, что и в данном ряду, называется n-ным остатком ряда.
(1.3)
Sn - n-ная частичная сумма (n = 1,2,...,k)
Rn = an+1 + an+2 + ... + an+i + ... , (1.4)
Rn - остаток ряда.
Определение 3. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится. Если ряд не сходится, то говорят, что он расходится.
Если ряд сходится, то называется его суммой.
. (1.5)
Если , то .
Необходимый признак сходимости ряда.
Числовые ряды - выражение типа
(1)
- члены ряда, - общий член ряда.
Ряд считается заданным, если задан общий член. Сумма первых n членов ряда называется n-ной суммой членов ряда.
- называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится.
Если предел не существует, то ряд (1) считается расходящимся.
Свойства рядов:
1) Если ряд (1) сходится, то сходится и ряд . (с - const)
2) Если ряд (1) сходится и ряд сходится, то сходится.
3) Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходящиеся и расходящиеся одновременно.
Теорема (необходимый признак сходимости числового ряда). Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть .
Если не выполняется, то расходится.
Достаточное условие расходимости ряда: если предел или этот предел не существует, то ряд расходится.
Необходимый признак сходимости ряда недостаточен для сходимости, поскольку существуют ряды, которые расходятся, но необходимый признак сходимости для них выполняется.