Задача 4.5
По данным об инвестициях в основной капитал произвести аналитическое выравнивание ряда динамики на основе функции прямой и параболы второго порядка. Выбрать уравнение, наиболее точно описывающее динамику показателя.
Таблица 4.7
Инвестиции в основной капитал в январе-сентябре 1998 г., млрд руб.*
Дата |
январь |
февраль |
март |
апрель |
май |
июнь |
июль |
август |
сентябрь |
Инвестиции в основной капитал, млрд руб. |
22,1 |
23,7 |
26,1 |
25,5 |
26,6 |
31,8 |
32,9 |
35,4 |
38,8 |
Решение. Произведем выравнивание исходных данных по уравнению прямой. Для расчета параметров уравнения прямой и выровненных значений уровней ряда построим табл. 4.8.
Таблица 4.8
yi |
ti |
tiyi |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
22,1 |
1 |
22,1 |
1 |
19,06+2,03·1=21,09 |
(21,09-22,1)2=1,020 |
23,7 |
2 |
47,4 |
4 |
19,06+2,03·2=23,12 |
(23,12-23,7)2=0,336 |
26,1 |
3 |
78,3 |
9 |
19,06+2,03·3=25,15 |
(25,15-26,1)2=0,902 |
25,5 |
4 |
102,0 |
16 |
27,18 |
2,822 |
26,6 |
5 |
133,0 |
25 |
29,21 |
6,812 |
31,8 |
6 |
190,8 |
36 |
31,24 |
0,314 |
32,9 |
7 |
230,3 |
49 |
33,27 |
0,137 |
35,4 |
8 |
283,2 |
64 |
35,30 |
0,01 |
38,8 |
9 |
349,2 |
81 |
37,33 |
2,161 |
Σ=262,9 |
Σ=45 |
Σ=1436,3 |
Σ=285 |
Σ=262,89 |
Σ=14,514 |
Расчеты параметров ао и а1 произведем по формулам (4.13) и (4.15):
Следовательно, уравнение прямой имеет вид:
Подставляя
значения ti
из табл. 4.8 (гр. 2) в уравнение прямой,
рассчитаем теоретические (выровненные)
значения уровней ряда, которые записываем
в гр. 5 табл. 4.8. Правильность расчетов
теоретических значений
проверяется при помощи следующего
равенства:
.
В
нашем примере
Следовательно, расчеты сделаны правильно.
В
графе 6 табл. 4.8 определяются квадраты
отклонения выровненных значений
от реальных значений уi,
на основе которых находят стандартизированную
ошибку аппроксимации для уравнения
прямой (формула (4.30).
Для выравнивания ряда по уравнению параболы второго порядка воспользуемся более простым способом расчетов - от условного нуля. Для проведения расчетов составляем табл. 4.9.
Таблица 4.9
yi |
ti |
|
|
|
|
|
tiyi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
22,1 |
-4 |
16 |
353,6 |
256 |
28,2+2,03(-4)+ +0,15·16=22,5 |
(22,5-22,1)2=0,16 |
-88,4 |
23,7 |
-3 |
9 |
213,3 |
81 |
28,2+2,03(-3)+ +0,15·9=23,4 |
(23,4-23,7)2=0,009 |
-71,1 |
26,1 |
-2 |
4 |
104,4 |
16 |
28,2+2,03(-2)+ +0,15·4=24,7 |
(24,7-26,1)2=1,96 |
-52,2 |
25,5 |
-1 |
1 |
25,5 |
1 |
26,3 |
0,64 |
-25,5 |
26,6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
28,2 |
2,56 |
0 |
31,8 |
1 |
1 |
31,8 |
1 |
30,4 |
1,96 |
31,8 |
32,9 |
2 |
4 |
131,6 |
16 |
32,8 |
0,01 |
65,8 |
35,4 |
3 |
9 |
318,6 |
81 |
35,6 |
0,04 |
106,2 |
38,8 |
4 |
16 |
620,8 |
256 |
38,7 |
0,01 |
155,2 |
Σ=262,9 |
Σ=0 |
Σ=60 |
Σ=1799,6 |
Σ=708 |
Σ=262,6 |
Σ=7,43 |
Σ=121,8 |
Рассчитаем параметры уравнения ао, а1, а2 по формулам (4.18), (4.19), (4.20).
Уравнение параболы второго порядка в данном примере:
Подставляя значения ti в данное уравнение, рассчитаем теоретические уровни (гр. 6 табл. 4.9). Сравнивая суммарные теоретические и реальные уровни ряда (итог гр. 1 и итог гр. 6 табл. 4.9), судим о правильности расчетов теоретических уровней.
Для расчета стандартизованной ошибки аппроксимации суммируем возведенные в квадрат отклонения теоретических и реальных уровней (гр. 7 табл. 4.9). ошибка аппроксимации равна:
Чтобы выбрать наиболее подходящее уравнение, сравним стандартизованные ошибки аппроксимации для уравнения прямой и уравнения параболы. В первом случае ошибка равна 1,27 млрд руб., во втором - 0,91 млрд руб. таким образом, наиболее точно анализируемый ряд динамики описывается уравнением параболы второго порядка.