1.5.5. Формалізація двовимірних структурних мереж тальвегів

Існує певна асиметрія у дослідженнях структурних мереж флювіального рельєфу. Як повідомлялось вище, основні зусилля геоморфологів, особливо зарубіжних, спрямовані на визначення законів організації плоскої мережі тальвегів. З нашої ж точки зору, лінії тальвегів з'єднують точки одного (параболічного) виду і являють собою лінії мінімумів поверхні, тому функціонально відносяться до водозливного гідрологічного типу. Їх легко виділити по топографічній карті і на місцевості як 3-вимірну структуру.

У двовимірному вигляді, лінії тальвегів творять зв'язну мережу у межах ФГМС. Її зв‘язність визначається тим, що усередині однієї флювіальної системи з будь-якої точки будь-якого тальвегу можна потрапити в будь-яку іншу точку того ж чи іншого тальвегу. Мережа, що має зазначені властивості, називається деревоподібною, чи просто "деревом", також - "кістяком", "каркасом". Деревоподібна мережа може досліджуватися засобами теорії графів, як це було вже показано вище на елементарному рівні.

Мережу тальвегів і граф, що її відображає, можна розглядати різними способами. У морфометрії прийнято аналізувати цю мережу з урахуванням усіх її особливостей, насамперед відповідно до реального положення на реальному рельєфі. Такий підхід назвемо топографічним аналізом. Він загальновідомий. Якщо ми розглядаємо структурні співвідношення у системі флювіальної мережі, то такий аналіз є, відповідно, структурним. У таких випадках обираються лише певні відрізки мережі. Частину структурного аналізу, що обмежується визначенням інваріантних структур флювіальної мережі, доречно називати топологічним аналізом.

Ієрархію мережі тальвегів відображає засобами теорії графів бінарне "дерево", елементами якого служать вершини і дуги. До топологічних властивостей такого дерева віднесемо топологічну відстань - число дуг на шляху від однієї вершини до іншої; порядок дуги (аналогічний порядку тальвегу за схемою Філософова-Стралера); ранг вершини - число на одиницю більше порядку дуг, що входять у дану вершину, і рівне порядку дуги, що виходить з цієї вершини.

Кінець кінцем, подамо зведення законів ієрархії тальвегів за різними авторами (табл. 1.1).

Перші 5 законів встановлено Хортоном-Стралером. Інші закони й кількісні відношення проаналізовано у тексті досить об‘ємної статті, що надрукована у Науковому щорічнику досліджень планети Земля, виданому Міжнародним центром теоретичної фізики (США).

До таблиці ми додали 2 правила визначення чисел вершин та відрізків дерева тальвегів (закони 16, 17), встановлені нами (1979) і наведені вище.

1.5.6. Тривимірні мережі фгмс

Для метричної оцінки дискретних елементів і форм рельєфу звичайно використовуються узагальнені характеристики. Найчастіше це середня абсолютна і відносна висоти, середній ухил чи кут нахилу, довжина і ширина (вимірювані в площині горизонтального проложення).

Усі метричні характеристики рельєфу-поля (у розумінні автора (див. 27, 51) можна розділити на дві групи. До першої групи відносяться метричні показники, що залишаються незмінними незалежно від того, у якому положенні розглядається рельєф. Для прикладу, можна привести морфометричні характеристики форм рельєфу на рельєфній топографічній карті. Це такі показники:

• кривизна поверхні в довільній точці,

• площа поверхні,

• довжина лінії на поверхні.

Вони не міняються, навіть якщо змінюється положення рельєфу у зовнішньому просторі (або система координат). Наприклад, якщо ми змінимо положення цієї рельєфної карти (див. приклад у Вступі, рис. В-1) чи будемо розглядати її під певним довільним кутом зору, зазначені характеристики залишаються сталими, тому що вони визначають форму самої поверхні безвідносно до її положення в просторі. Відповідно до традицій диференціальної геометрії, будемо називати їх внутрішньою метрикою рельєфу.

Таблиця 1.1. Закони ієрархії річкових мереж

№ пп	Закон	Прізвище відкривача чи назва закону	Масштабні співвідношення
1	Tv = Ti (RT)v-1	Токунага	( Ti,,RT)
2	nω+1/nω =Rn	Хортон –закон числа потоків	Rn = Rr
3	ēω+1/ēω =Re	Хортон – закон порядку сегментів стоку	R e= RT
4	ĺω+1/ĺω =Rl	Хортон – закон порядку основного русла	Rl = RT
5	āω+1/āω=Ra	Хортон – закон площ водозборів	Ra = Rn
6	l œ Ld	Афінної самоподібності елементарних тальвегів	d
7	l œ a h	Закон Хака	h = log Rl / log Rn
8	a œ LD	відношення площ водозборів	D = d/h
9	L┴ =LH	Відношення «of basin widths»	H = d/h - 1
10	P(a) œ a -τ	---------------
11	P(l) œ l -γ		τ = 2 – h
12	Λ œ aβ	Закон Лангбейна	γ = 1/h
13	λ œ Lф	Уточнення закону Лангбейна	Ф= d
14	ˉΛ œ a β	Доддса та Ротмана (1)	β = 1+h
15	˜Λ œ Lф	Доддса та Ротмана (2)	Ф= d
16	Рm = 2 m-1 - 2	Число вершин дерева тальвегів (див. вище)	m –ранг кореневої вершини
17	Sm - 2m - 2	Число відрізків флювіальної мережі (див. вище)	-“-

Внутрішня метрика рельєфу метризує його топологію. Вона, як і топологія, інваріантна стосовно системи координат, вибір якої для вивчення внутрішньої метрики несуттєвий.

Другу групу метричних характеристик рельєфу творять елементи зовнішньої метрики рельєфу. До них відносяться:

• висота,

• перевищення,

• ухил,

• кут нахилу поверхні,

• довжина і площа, обмірювані на карті (тобто в площині горизонтального проложення).

Вони визначають положення рельєфу в просторі (зовнішній системі координат), тому, природно, залежать від того, щодо яких реперів це положення виміряється. Характеристики зовнішньої геометрії не є інваріантними.

Цікавим є те, що у системі топографо-геодезичної зйомки рельєфу для складання топографічних карт немає окремо елементів внутрішньої метрики. Метрика рельєфу відображається на топографічній (гіпсометричній) карті інтегрально, не розчленовуючись на зовнішню і внутрішню. Найбільше повно відображається зовнішня метрика, що безпосередньо служить об'єктом топографо-геодезичної зйомки. Внутрішня метрика відображається побічно - через характер рисунку горизонталей (їхню кривизну, розподіл закладень), що передбачається топографічними Настановами й витікає з досвіду «укладання» горизонталей. Деякі характеристики внутрішньої геометрії піддаються обчисленню (площа поверхні, довжина лінії на поверхні) за допомогою графоаналітичних чи аналітичних методів, відомих з картометрії.

Критичний аналіз досить багатого досвіду автоматизованого відображення рельєфу свідчить про те, що всі зусилля дослідників витрачаються переважно на те, щоб правильно передати показники зовнішньої метрики рельєфу, тобто забезпечити відповідність висот у точках і перевищень поміж формами рельєфу. З цієї вимоги виходять і алгоритми інтерполяції, і критерії якості останньої. Внутрішня метрика і топологія рельєфу випадають з поля зору фахівців з чисельного аналізу рельєфу (хоча б уже тому, що ці характеристики рельєфу менш відомі, ніж зовнішня метрика). Це призводить до того, що у відношенні правильної передачі характерних рис рельєфу моделі рельєфу незадовільні. Тим часом, досвід топографо-геодезичних робіт передбачає передачу характерних рис рельєфу в рисунку горизонталей, що звичайно досягається на основі досвіду. Щоб формалізувати цей досвід і, таким чином, істотно поліпшити відображення морфології рельєфу, необхідно навчитися відтворювати топологію і внутрішню геометрію рельєфу з таким же ступенем подібності й точності, з яким відображаються висоти місцевості, тобто зовнішня метрика.