1 3. Модель Курно. Алгебраическое выведение функции реакции дуополистов.

Наряду с графическим выводом функции реакции фирмы 1 можно использовать алгебраический. Допустим, что обратная функция спроса задана уравнением P(Q)=а - bQ, а функция издержек- C(q)=cq, где Q=q₁ + q₂- совокупный объем производства. Прибыль фирмы 1 составляет: π=Pq₁ - C(q₁) = (а-b(q₁ + q₂))q₁ - cq₁ = aq₁ - bq₁(в квадрате)- bq₁q₂ - cq₁. Условием первого порядка максимизации прибыли является (формула 1).---После несложных преобразований получаем уравнение кри­вой реакции фирмы 1 (формула 2).---Аналогично выводится функция реакции фирмы 2 (формула 3).

П оскольку функции издержек у обеих фирм одинаковы, функ­ция реакции фирмы 2 q*₂(q₁) симметрична функции реакции фирмы 1. Точка равновесия в модели Курно задана пересечением кри­вых реакции, т. е. это точка N. В точке равновесия фирмы выбира­ют оптимальный объем производства с учетом своих прогнозов от­носительно действий конкурента, и эти прогнозы правильны, т. е. q₁^{N =} q₁*( q₂^N) и q₂^N= q₂*(q₁^N). Данный тип равновесия называется равновесием Нэша.

Рынок находится в состоянии равновесия Нэша, если каждое предприятие придерживается стратегии, являющейся лучшим ответом на стратегии, которым следуют другие предприятия отрасли, п ни одно предприятие не хочет изменить своего поведения в од­ностороннем порядке. Равновесие Курно - частный случай равно­весия Нэша, когда стратегия каждого предприятия заключается в выборе им своего объема выпуска.

Благодаря алгебраическим рассуждениям мы получили систему из уравнений кривых реакции дуополистов (формула 4). --- Равновесные выпуски Курно определяются подстановкой второго уравнения в первое для определения q₁^N и, соответственно, первого уравнения во второе для определения q₂^N. После подста­новки получаем (формула 5). --- Следовательно, совокупный выпуск (формула 6). --- Подставив значения равновесных выпусков в обратную функ­цию рыночного спроса, найдем значение равновесной цены дуополии Курно (формула 7). ---Равновесные цены и объемы выпуска дуополистов Курно одинаковы, что объясняется однородностью их продуктов (близо­стью товаров-субститутов) и равенством их затрат на производство. Сравнение условий равновесия дуополии Курно, монополии и совершенной конкуренции приведено на (рис.2- Сопоставление равновесия Курно с монополией и совершенной конкуренцией)

Кривая реакции каждой фирмы пересекает оси в точках q^M и q^C. Тогда линия с наклоном (-1), пересекающая оси в наиболее удаленных крайних точках кривых реакции, соединяет все точки, при которых (формула 8). --- Аналогично, линия с наклоном (-1), пересекающая оси в бли­жайших крайних точках кривых реакции, соединяет все точки, при которых (формула 9). --- Точка равновесия Курно N лежит между этими двумя линия­ми. Значит, совокупный выпуск в модели Курно больше, чем при монополии, и меньше, чем при совершенной конкуренции. Аналогично, цена при дуополии ниже, чем при монополии, и выше, чем при совершенной конкуренции.

1 4.Модель Бертрана.

Анализ взаимозависимости решений о ценах обычно начина­ют с простейшей модели дуополии Бертрана. Предполагается, что фирмы производят однородный продукт, имеют одинаковые пре­дельные издержки, которые постоянны, и одновременно устанав­ливают цены. Спрос носит линейный характер.

П оскольку продукция дуополистов абсолютно взаимозаме­няема (однородна), фирма, установившая цену «чуть ниже» цены (ругой фирмы, замыкает весь спрос на себе. Тогда спрос на ее про­дукцию совпадает с рыночным спросом, а спрос на продукцию другой фирмы равен нулю. Если обе фирмы устанавливают одина­ковую цену, то на каждую из них будет приходиться половина ры­ночного спроса. В данном контексте оптимальная цена фирмы 1 зависит от того, какую цену, по ее прогнозам, установит фирма 2, и наоборот. Тогда функция реакции фирмы 1 р*1(р2) выглядит так, как на рис.1.(Модель Бертрана: кривая реакции фирмы 1). При величине Р2 ниже МС фирма 1 выбирает Р1 = МС. При величине Р2 выше МС, но ниже монопольной цены Рм фирма вы­бирает Р1, которая чуть ниже Р2. Наконец, при величине Р2, пре­вышающей монопольную цену Рм, фирма 1 выбирает Р1=Pм.

На рис. 2 (Модель Бертрана: равновесие Нэша) вместе с кривой реакции фирмы 1 изображена кривая реакции фирмы 2 - р*2(р1). Поскольку у фирмы 2 такие же предельные издержки, как и у фирмы 1, ее кривая реакции распо­лагается симметрично относительно линии, идущей под углом 45°. Равновесие Нэша представлено точкой пересечения кривых реакции - точкой N. Ей соответствует пара стратегий (пара цен), при которых фирмы не могут увеличить прибыль путем односто­роннего изменения цены и которые совпадают с величиной предельных затрат. Если допустить, что равновесная цена превышает предельные издержки, то при чуть более низкой цене одна из фирм могла бы практически удвоить свою прибыль. Следовательно, в условиях ценовой конкуренции с однородным продуктом и постоянными и симметричными предельными издержками (конкуренция Бертрана) единственно возможная равновесная цена - это Р = МС.

В противовес теории на реальных рынках увеличение количе­ства фирм приводит, как правило, к снижению равновесной цены, и на большинстве рынков даже при наличии лишь двух конкурен­тов прибыль выше нулевой отметки. Очевидный парадокс модели Бертрана разъясняется дифференциацией продукции, рассмотрени­ем конкуренции в динамике, а также наличием ограничений по мощности.