№5.Решение матричных уравнений.

Система алгебраических уравнений, содержащие m уравнения и n неизвестных .называются системой вида

1 a11x1+a12x2+..a1nxn=b1

a21x1+a22x2+..a2nxn=b2

e am1x1+..amnxn=bm

где a,s-коэффициенты системы, b-свободные члены, подлежат нахождению числа xn.Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме: AX=B, A- основная матрица, X- вектор столбец неизвестных Xj, B- векторстолбец из свободных членов b.

Расширенная матрица.

_ a11 a12….a1n |b1

A= am1 am2..amn|bm

Решением системы называется n значений неизвестных x1=c1,x2=c2 и т.д. при подстановке которых все уравнения обращаются в верные равенства.всякое решение системы можно записывать в виде столбца:

с1

С= с2

Сn

Система совместно имеет хотя бы одно решение Решить систему-значит выяснить совместны ли они.Системы называются равносильными, если они имеют одно и тоже общее решение. Преобразование системы уравнений называется тождественными, если оно приводит его к равносильной системе.

№6.Решение систем линейных уравнений. Формула Крамера.

Система уравнения называется совместной, если она имеет хотя бы 1 решение.

Совместная система: определенная(1 решение), неопределенная(множ-во решений: частные, общие)

Решить систему- выяснить, совместная система или нет. Равносильные уравнения- это ур. имеющие одинаковое мн-во решений. Преобразование системы уравнений называется тождественными, если оно приводит его к равносильной системе.

Формула Крамера. Пусть дана система n-линейных уравнений с n-неизвестными.

a 11x1+a12x2+..a1nxn=b1

an1x1+an2x2..annxn=bn , где AX=B

основная матрица A такой системы .квадратная. det A- определитель системы, det A не равен 0,A-невырожденная.AX=B.A^-1AX=A^-1B=>EX=A^-1B=>X=A^-1B. Отыскание решений по данной формуле называют матричным способом решение системы. Формула крамера:

__i i=|a11 b1 ann| -det A

x 1= |an1 bn ann|

П ример: 2x₁-3x₂=6

5x₁+4x₂=11

Det A=|2 -3|

|5 4|=8+15=23

X1=|6 -3| x2=|2 6|

|11 4|=24+33=57 |5 11|=23-30 =-8

23 23 23 23 23 23

№ 7. Метод Жордана Гаусса.

Метод жардана гаусса так преобразует систему уравнений, чтобы в каждом уравнении появилась базисная переменная. Базисная переменная X1- входит в уравнение с коэф. +1 и не входит в другое уравнение. Процесс решения по методу Гаусса состоит из 2 этапов:на первом этапе система приводится к ступенчатому виду:

A11x1+a12X2 a1kxk..a1nxn=b1

A22x2+..a2kxk..a2nxn=b2

Akkxk..aknxn=bk,k< или=, a1 не равно 0

А11- главные элементы системы

2 этап. Последовательное определение неизвестных из ступенчатой системы. Общее решение-решение, в котором базисные пременные выражаются через правые части уравнений и оставшихся свободных переменных. Если общее решение имеет свободные переменные, то система имеет бесконечное кол-во решений.

№8 однородная система линейных уравнений.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны 0.(x1=x2=xn=0)

Однородная система всегда совместна, т.к. xn=0=> решение системы это решение называетсянулевым Или тривиальным.пусть одна производная система m линейных уравнений с n неизвестными.

а 11ч1+а12ч2..а1nxn=b1

am1x1+am2x2..amnxn=bm

исчерпывающий ответ на вопрос о совместимости системы дает теория кронекера-копели

система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы. Правила практического разыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекает из следующих теорем: 1)если ранг совместной матрицы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.2) если ранг совместной матрицы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.

№9. Ранг матрицы.

минором порядка K матрицы называются определитель, составленный из элементов стоящих на пересечении N строк и N столбцов данной матрицы.

Таким образом, каждый элемент матрицы является ее минором первого порядка. Ранг матрицы- это порядок ее наибольшего нулевого минора r(A), R(A), Rang(A)

Свойства ранга: 1) очевидно, что значение ранга матрицы не может превышать меньший из ее размерностей R(A)<или= min(m,n). 2) ранг транспортированной матрицы равен рангу исходной R(A)=R(A). 3 если элемент V строки( столбца) умножить на число не равное 0, то ранг матрицы не изменится. При вычислении ранга матриц приводит к ступенчатой форме, когда ниже главной диагонали все элементы равны 0.

№10. Балансовая модель Леонтьева.

Цель балансовой модели л. Ответить на вопрос, рассматривающий в макроэкономике и связанными с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства. Каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отраслиМатематическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936г василием леонтьевым. Обозначим:

X= x1 a11 a 12…a1n y1

X2 ; A= a 21 a 22…..a2n ; Y = y2

X3 an1………ann yn

(вектор вал.Вып)(матрица прям затрат)(вектор кон продукта)

Каждый из выпускает один вид продукции-эта продукция частично используется остальными цехами в своей работе. A ij- показывает сколько единиц продукции с цехов используется для выпуска одной единиц продукции с цеха N=J

Систему можно записывать в матричном виде X=AX+Y

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечной продукции Y.перепишем уравнение x=AX+Y в след виде( с-а) х=у. если матрица( с-а) невырожденная, т.е .|c-a| не равно 0, то x=(c-a)^-1Y ∫Y. Матрица ∫=(C-A)^-1- матрица полных затрат, каждый элемент ∫I,j матрицы ∫есть величина валового выпуска продукцииi-отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-и отрасли y; =1(∫=1..n). матрица А≥ наз-тся продуктивной, если для любого вектора У≥ сущ-т решение х≥0 уравнения(E-A) X=Y. Наряду с валовой и конечной продукции в межотраслевом балансе рассматриваются чистая продукция отрасли-разность между валовой продукцией этой отрасли и продукцией всех отраслей на производстве этой отрасли.

11)Собственные числа и векторы

Если ур-ие Ax=Lx имеет решение,то х-собвстенный вектор А,L-собственное число,отвечающее этому вектору.Ex=x, Ax=ELx, Ax-LEx=0, (A-LE)x=0, |A-LE|-характеристическое ур-ие. Собственные числа явл.корнями этого ур-ия.

12)Векторы,св-ва операций над ними

Векторы-совокупность отрезков одинаковой длины и одного направления.Сумма векторов считается по правилу треугольника или параллелограмма.Длина вектора-число,раное длине отрезка изображающего вектор.Векторы лежащие на одной прямой или || наз.коллинеарными .Если начало и конец вектора совпадают,то он нулевой.Координаты вектора-это корд.его конечной точни.

Св-ва операций над векторами: a+b=b+a, a+(b+c)=(a+b)+c, a+0=a, для любого а есть такое b, что a+b=0, (n+m)a=na+ma, x(a+b)=xa+xb

13)Линейная независимость векторов,базис,прямоуг.Система координат

a1,a2,a3…-линейно независимы

k1*a1+k2*a2+…an=0,если k1=k2..=0

a1=(k2/k1)*a2+…+(kn/k1)*an

Если a1*k1+a2*k2=0,пусть k1 0, тогда a1=-(k2/k1)*a2

Коллинеарные векторы на плос-ти линейно зависимы(коллинеарны, если один выражается через другой)

-если среди a1,a2...есть нулевой вектор,то они линейно зависимы

-если часть векторов ЛЗ,то и остальные также ЛЗ.

Размерности прост-ва-макс число независимых векторов в прост-ве.Размерность обозначается как dim(R)

Базис-совокупность линейно независимых векторов в прост-ве.Теорема-каждый вектор линейного прост-ва можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса.Теорема-если е1,е2…-система линейно независимых векторов прост-ва и любой вектор а линейно выражается через е1,е2…,то е1,е2..-базис этого пространства

14)Скалярное произведение и его св-ва

Результатом произведения явл.число,которое не зависит от системы координат и характеризует длину векторов и угол между ними.

a*b=|a|*|b|*cosA

Св-ва скалярного произведения: a*b=b*a, 0*b=0, A*(a*b)=(A*a)*b, A*(a+b)=A*a+A*b, если а | b,то a*b=0

15)Векторное произведение и его св-ва(обозначается крестиком)

Векторное произ-ие вектора а на вектор b это вектор с,удовлетворяю

щий след.требованиям:модуль с равен |a|*|b|*sinA, вектор с перпендикулярен a и b

Св-ва ВП a*b=-(b*a), A*(a*b)=(A*a) *b=a*(A*b), a*(b+c)=a*b+a*c, a||b a*b=0, a*b=

16)Смешанное произведение векторов и его свойства

Смешанное произведение векторов равняется объему параллелепипеда, построенного на 3 векторах – a, b, c.

(a×b)*c (Первые 2 вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор)

Свойства смешанного произведения векторов:

1. (a×b)*c=(b×c)*a=(c×a)*b

2. (a×b)*c=a*(b×c)

3. a*b*c= - a*c*b (при перестановке меняется знак)

4. a║b→abc=0

5. Если a,b,c – компланарны, то abc=0

a*b*c = – выражение смешанного произведения через координаты

17)Ур - е прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых

- общее ур-е прямой

Y=kx+b – ур-е прямой с угловым коэффициентом

K=tg – угловой коэффициент

Y= – ур-е прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.(ур-е пучка прямых с центром в точке М( )

– ур-е прямой, проходящей через 2 точки

+ =1 – ур-е прямой в отрезках, т.к. а и в указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат

A(x-x₀) + B(y-y₀)=0 – ур-е прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Вектор, перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

Взаимное расположение прямых:

1)Условием параллельности прямых является пропорциональность коэффициентов при переменных (A₁/A₂=B₁/B₂)

2)Условием перпендикулярности прямых явл-ся равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных x, y

(A₁A₂ + B₁B₂=0)