3.Основные положения расчетов.

3.1. Состояние заданной СМО определяется числом требований, находящихся в системе, где рассматриваются два состояния:

1.n=0, т.е. канал обслуживания простаивает;

2.0<nm, т.е. задачи на решение поступают.

Размеченный граф состояний СМО может быть представлен в виде(рис. 3.1)

(m-n)

(m-n+1)

…

(m-1)





P₁

P_n-1

P_n

P_n+1

…

m

P₀











…

P_m

P_m-1



Рис.3.1.

Размеченный граф состояний позволяет перейти к составлению системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих вероятности состояний заданной СМО, где поток требований представляется в виде простейшего потока – стационарного пуассоновского потока.

3.2. При определении оптимальной структуры системы массового обслуживания предполагается:

-поток требований стационарный, т.е. вероятность поступления определенного количества требований в систему зависит только от продолжительности периода поступления, а не от расположения этого периода(часа работы) в смене;

-число требований, поступивших в систему в некоторый момент времени, не зависит от числа, поступивших до этого времени;

-вероятность поступления двух или трех требований в один момент времени столь малая величина, что ею можно пренебречь, а значит поток требований

можно считать ординарным.

4.Построение и исследование математической модели смо.

4.1. Для составленного размеченного графа состояний СМО строится математическая модель в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений вероятностей состояний. При этом указывают следующее:

-производная dP_n(t)/dt вероятности нахождения системы в состоянии n равна алгебраической сумме нескольких членов;

-число членов этой суммы равно числу стрелок на графе состояний системы, соединяющих состояние n с другими состояниями;

-если стрелка направлена в состояние n, то член берется со знаком плюс;

-если стрелка направлена из состояния n, то член берется со знаком минус;

-каждый член суммы равен произведению вероятностей того состояния, из которого направлена стрелка, на интенсивность потока событий, переводящего систему по данной стрелке.

В соответствии с графом рис.3.1. , используя выше приведенное, система уравнений вероятностей состояний будет иметь вид:

Д

при n=0,1,…,m

ля расчета заданных характеристик СМО можно ограничиться исследованием установившегося режима работы системы. Тогда получим:

систему алгебраических уравнений:

Для значений 0<nm получим рекуррентную формулу:

при n=0

п ри n=1

п ри n=2

… ……………………………………………………………..

при n=m

В результате вероятность того, что в системе находится n-требований составит:

n=1,2,…,m

Вероятность простоя канала обслуживания P₀ получим из условия:

О тсюда искомая вероятность(примем для n=1):

С реднее число требований, находящихся в очереди:

С реднее число требований, находящихся в системе:

Среднее время ожидания требования в очереди:

С реднее время ожидания требования в системе:

4.2. На основании критерия оптимизации(см п.2.2.) и с учетом вероятностей P_n и P₀ (см п.4.1) аналитическое выражение целевой функции запишем в виде:

О тсюда определяем оптимальное количество требований m_опт, обеспечивающее минимальное значение критерия оптимизации Y_min. Таким образом для найденного m_опт должны выполняться неравенства:

Y(m_опт-1)>Y(m_опт)

Y(m_опт-1)>Y(m_опт)