4 Нахождение оптимального решения транспортной задачи методом потенциалов.

Алгоритм метода потенциалов.

1.Находим решение транспортной задачи любым методом, но таким, чтобы число занятых грузом клеток было m+n-1. если таких клеток окажется меньше, то надо поставить в какую-нибудь из них 0 и считать её занятой грузом.

2.Всем клеткам таблицы приписываем буквы Ai, Bj (i=1,2...m, j=1,2...n) и назовём их потенциалами.

Таблица 3.

Bj Ai	B1	B2	B3		B4	ai	Столбцы разностей
A1	70 *	38 *	24 14		92 *	14	1 4	14	-	-	-	-
A2	58 *	18 20	56 *		72 *	20	38	-	-	-	-	-
A3	19 23	10 2	100 1		30 *	26	9	9	9	11	81	-
A4	3 7	36 *	121 *		8 34	41	5	5	5	5	1 18	-
bj	30	22	15	34
Стоки разностей	16	8	3 2	22
	16	2 6	75	22
	16	26	2 1	22
	16	-	21	22
	16	-	21	-
	-	-	-	-

3.Для всех занятых клеток записываем сумму потенциалов Ai+Bj и приравниваем её стоимости занятой клетки. Получаем систему уравнений из m+n-1 уравнений

Ai+Bj=Cij; i=1,2...m, j=1,2...n;

C n+m неизвестными, которая имеет бесчисленное множество решений. Находим любое из них. Придадим, например, А1=0, получим все остальные потенциалы.

4.Для свободных клеток записываем сумму найденных в п.3 потенциалов и сравниваем её со стоимостью данной свободной клетки. Если для всех свободных клеток Ai+Bj<=Cij, то нарушений нет и полученный план перевозок является оптимальным. Если какие-то клетки имеют нарушение, т.е. Ai+Bj>Cij, то продолжаем решение, переходим к пункту 5.

5.Выбираем из всех клеток с нарушениями одну, строим для неё так называемый цикл пересчёта, т.е. такой многоугольник (с прямыми углами), одна из вершин которого находится в выбранной клетке, а все остальные в занятых клетках.

6.Вершине цикла в свободной клетке приписывается знак "+", соседней с ней (в любом направлении) вершине приписывается знак "-" и т.д., всем вершинам цикла припишем знаки.

7.В клетках, где вершина цикла имеет знак "+", прибавляем количество груза q, а в клетках с отрицательными вершинами цикла – вычитаем то же самое количество груза q. Где q – наименьшее количество груза из всех отрицательных вершин цикла. Выполнив одну такую переброску груза по циклу, переходим к п.3. Через конечное число перебросок груза будет получено оптимальное решение, если оно существует. Пользуясь указанным алгоритмом, найдем оптимальное решение транспортной задачи, исходя из допустимого решения, методом С-З угла табл. 1.

Пример 4.

1.Приписываем потенциалы Ai, Bj.

2.Для занятых клеток записываем сумму потенциалов и приравниваем её к стоимости:

A₁+B₁=3; A₁+B₂=3;

A₂+B₂=3; A₂+B₃=1;

A₂+B₄=5; A₃+B₄=4;

Пусть A₂=0, тогда B₂=3(из 3-го уравнения), B₃=1(из 4-го уравнения), B₄=5, A₃=-1, A₁=-1, B₁=3(из остальных).

3.Для свободных клеток записываем сумму потенциалов и сравниваем её со стоимостью данной клетки, отмечаем, где есть нарушения.

A₁+B₃=-1+1=0<4, нарушений нет;

A₁+B₄=-1+5=4>1, нарушения есть;

A₂+B₁=0+3=3>2, нарушения есть;

A₃+B₁=-1+3=2<3, нарушений нет;

A₃+B₂=-1+3=2=2, нарушений нет;

A₃+B₃=-1+1=0<4, нарушений нет;

В двух клетках есть нарушения, значит план неоптимальный. Переходим к п.4,5.

4.Выбираем клетку A₁B₄, строим для неё цикл пересчёта.

5.Вершинам цикла приписываем знаки, в свободной клетке – знак "+".

6. q=min{200,50}=50 – наименьший груз из всех отрицательных вершин цикла. Прибавим 50 в клетках, где знак "+" и вычтем 50 где знак " – ", получим таблицу 4.

Таблица 4.

шахты	потребители								Добыча
	B1		B2		B3		B4
Ш1	300	3	150	2		4	50	1	500
Ш2		2		3	300	1		5	400
Ш3		3		2		4	200	4	200
потребность	300		250		300		250

Переходим к п.3. записываем сумму потенциалов для занятых клеток и находим Ai,Bj.

A₁=0; A₂=1; A₃=3; B₁=3; B₂=2; B₃=0; B₄=3;

Проверяем полученный план на оптимальность. Для свободных клеток

A₁+B₁=0<4, нарушений нет;

A₂+B₁=4>2, нарушения есть;

A₂+B₄=2<5, нарушений нет;

A₃+B₁=6>3, нарушения есть;

A₃+B₂=5>2, нарушения есть;

A₃+B₃=3<4, нарушений нет;

Выбираем клетку A₂B₁ с нарушением с строим цикл, показанный в таблице 3. Перебрасываем по циклу количество груза q=min{300,100}=100. Получаем табл. 4. Переходим к п.3, записываем сумму потенциалов для занятых клеток и определяем A_i,B_j.

Таблица 5.

шахты	потребители								добыча
	B1		B2		B3		B4
Ш1		3	250	2		4	250	1	500
Ш2	100	2		3	300	1		5	400
Ш3	200	3		2		4		4	200
потребность	300		250		300		250

Имеем A₁=0, A₂=-1, A₃=3, B₁=3, B₂=2, B₃=1, B₄=1.

Нарушения в клетках A₃B₁, A₃B₂, A₃B₃. Выбираем клетку A₃B₁, строим цикл и перебрасываем кол-во груза q=min{200,200}=200.

Получаем таблицу 5. Занятых клеток в которой 5. Ставим 0 в клетку A₃B₂ и считаем её за занятую.

Таблица 6.

шахты	Потребители								добыча
	B1		B2		B3		B4
Ш1		3	250	2		4	250	1	500
Ш2	100	2		3	300	1		5	400
Ш3	200	3	0	2		4		4	200
потребность	300		250		300		250

Находим A₁=0, A₂=-1, A₃=0, B₁=3, B₂=2, B₃=2, B₄=1, для которых во всех свободных клетках нет нарушений, значит получено оптимальное решение.

Таким образом, 1 шахта должна отправить 250 тонн угля потребителю В₂ и 250 тонн потребителю В₄ ; 2-ая шахта отправляет уголь потребителям В₁ и В₃ 100 и 300 тонн соответственно; 3-ая отправляет 200 тонн потребителю В₁. Суммарные расходы на перевозку при этом наименьшие и составляют С=1850.