2.2 Построение математической модели и критерий оптимизации.

Для смешанной стратегии вероятности выигрыша стороны А и проигрыша стороны В будут:

(2.11)

Выигрыш сторона А определяется как математическое ожидание выигрыша, которое максимизирует средний выигрыш:

Y= max

т.е критерий оптимизации:

Y= max (2.12)

где Cij - значения элементов матрицы выигрышей стороны А.

2.3 Алгоритм метода решения.

Для получения оптимальных вероятностей использования стратегий A₁,......, A_i,....,A_n (или для соответственно B₁,...,B_j,....,B_m), необходимо взять соответствующие частные произведения от целевой функции, приравнять их нулю и решить систему уравнений:

(i=1,2,...,n)

(2,13)

(j=1,2,3...,m)

относительно и .

Например, дана игровая матрица в таблице 2.2

Таблица 2.2

Ai Bj	B1	B2
A1	C11	C12
A2	C21	C22

Требуется определить оптимальные смешанные стратегии, т.е. выигрыш стороны А обеспечивается стратегией.

При этом наименьший проигрыш стороны В будет:

Математическая модель этой задачи

Y= max (2.14)

При этом : ;

а критерий оптимизации:

Y= max

Взяв частные производные и составив систему:

(2.15)

определим значения:

Подставим эти значения в (2.14) и получим максимальный средний выигрыш Ymax.

Для случая приведенного в таблице 2.2 обозначим:р₁=р, тогда р₂=1-р. Подставим эти значения в (2.14), взяв частные производные и решив систему уравнений получим:

= ; =

Подставим эти значения

в целевую функцию Y и получим максимальный средний выигрыш стороны А:

Ymax= (2.16)

Анализ этой формулы показывает, что при

игра становится безобидной, т.е. беспроигрышной, при этом необходимо:

(2.17)

Найденное значение Ymax составляет цену игры S, т.е.

S=Ymax, при этом a<=S<= в

т.е. применение оптимальной стратегии стороной А обеспечивает ей выигрыш при любых действиях стороны В, не меньше цены игры, поэтому:

j=1,2,...,n (2.18)

Аналогично для стороны В оптимальная стратегия должна обеспечить при любых стратегиях игрока А, проигрыш, не превышающий величину S, поэтому

i=1,2,....,m (2.19)

Таким образом, задача определения оптимальной стратегии стороны А имеет следующие ограничения:

(2. 20)

Разделим левую и правую части системы (2.20) на S, обозначим Pi/S=ti и получим:

(2. 21)

Выражение (2.9а) разделим на S и получим:

=1/S (2.22)

В результате решения игровой задачи необходимо получить для стороны А максимальное значения S, тогда выражение (2.22) можно представить в виде

Z= min (2.23)

при этом необходимо ti>=0.

Таким образом игровая задача приведена к задаче линейного программирования с целевой функцией (2.23) и ограничениях (2.21). Решая последнюю, находим значения которые составляют вектор оптимальных значений для стратегии (2.9) выигрышной стороны А.

Аналогично с (2.19) и (2.20) получим для стратегии проигрышной стороны В:

(2. 24)

Разделим левую и правые части системы (2.24) на S, обозначим /S=Uj и получим:

(2. 25)

Аналогично с (2.22) и (2.23) на основании (2.10а) получим:

U₁+U₂+......+Un=1/S (2.26)

W max (2.27)

Решая, находим =U_jS вектор Анализируя системы ограничений (2.21) и (2.25), которые получены на основе матрицы (2.1), можно показать, что система (2.25) является двойственной по отношению к системе(2.21).

Таким образом, для нахождения оптимального решения игры получено две двойственных симметричных задачи линейного программирования:

первая задача с системой (2.21) и критерием (2.23);

вторая задача с системой (2.25) и критерием (2.27).

Используя свойство симметричности можно решить одну из них, где будет меньше вычислений, а решение другой найти на основании оптимального плана двойственной:

(2.28) где i=1,2,...,m ; j=1,2,....,n

Цену игры S определим из последнего, оптимального плана симплекс - таблицы, учитывая

W_max=1/S или Z_min=1/S (2.29)

Значения переменных - по значениям переменных, введенных в базис оптимального плана, а значения переменных двойственной задачи - по значениям, полученным в столбцах переменных, введенным в базис начального опорного плана, в строке целевой функции.