ANSYS Mechanical

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. |Верификационныйvk.com/id446425943отчет. Том 2 (примеры из Verification Manual)

Пример 27 (VM146). Изгиб железобетонной балки с образованием трещин

Постановка задачи

Бетонная балка прямоугольного сечения, армированная стальными стержнями с площадью поперечного сечения А, нагружена изгибающим моментом М. Требуется опредлить глубину раскрытия трещин от нижней поверхности балки, максимальные осевые напряжения σt в стержнях арматуры и максимальные сжимающие напряжения σx в бетоне, предполагая осевое напряжение растяжения образования трещины бетона σct равным нулю.

Рис. 27.1 Иллюстрация задачи. Расчетная схема

Физические характеристики

Модуль упругости бетона Eb = 0,14061×107 тс/м2 Модуль упругости стали Es = 2,10919×107 тс/м2

Осевое напряжение растяжения образования трещины σct = 0,0 тс/м2 Коэффициент Пуассона для бетона νb = 0,0

Коэффициент Пуассона для стали νs = 0,3

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. |Верификационныйvk.com/id446425943отчет. Том 2 (примеры из Verification Manual)

Геометрические характеристики

Ширина балки b = 0,127 м Высота балки d = 0,1524 м

Площадь поперечного сечения арматуры 1,93548 см2

Описание КЭ модели

Для решения данной задачи применялись 3 типа КЭ:

SOLID65 – специальный объемный шестигранный восьмиузловой элемент с тремя степенями свободы в узле и дополнительными функциями формы внутриэлементных перемещений для повышения точности.

LINK8 – пространственный стержневой элемент, имеет одну ось, может воспринимать растяжение и сжатие и имеет три степени свободы в каждом узле.

PIPE16 – элемент подобный стержню или балке, имеющий возможности поддержки растяжения – сжатия, изгиба и кручения. Элемент имеет шесть степеней свободы в каждом из двух узлов.

Модель – представительный фрагмент балки, по высоте разбитую на 4 пространственных объемных КЭ (SOLID65), по длине – один КЭ (0,0381 м). В нижнем по высоте элементе типа SOLID65 находятся два элемента типа LINK8, моделирующих арматуру.

В узлах на «левом» торце наложены ограничения на все перемещения. На другом торце балки установлены условия-ограничения (СЕ) для удобного приложения нагрузки и большего соответствия предположению, что поперечное сечение балки не деформируется.

Фиктивные элементы типа PIPE16 используются для установления СЕ вдоль прямой линии, чтобы предоставить необходимые вращательные степени свободы в узлах.

Для бетона используется встроенная в ANSYS нелинейная модель материала

CONCR.

Характерные размеры элементов, вычислительная размерность задачи (число степеней свободы), количество узлов и конечных элементов приведены в таблице:

Граничные условия

Все узлы в x = 0

Ux = 0 Uy = 0 Uz = 0 Rotx = 0 Roty = 0 Rotz = 0

Все узлы

Roty = 0

Нагрузки

Изгибающих момент в узлах 6 и 16 M = 6,91286 × 103 тс/м

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. |Верификационныйvk.com/id446425943отчет. Том 2 (примеры из Verification Manual)

Рис. 27.2 Изометрия КЭ-модели балки с указанием нумерации узлов и элементов. 3D-визуализация (элементы SOLID65)

Рис. 27.3 Изометрия КЭ-модели балки с указанием нумерации узлов и элементов. 3D-визуализация (элементы LINK8)

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. |Верификационныйvk.com/id446425943отчет. Том 2 (примеры из Verification Manual)

Методика расчёта

Расчёт проводился в физически нелинейной постановке. Для решения системы уравнений применялась процедура Ньютона-Рафсона с автоматическим выбором шага («подшага») приращения нагрузки и с уравновешивающими итерациями. Количество “подшагов”: начальное 5, минимальное 5, максимальное 5. Разложение матрицы жёсткости выполнялось с помощью метода SPARSE.

Результаты расчёта

Результатами расчёта являются осевые напряжения σt в стержнях арматуры, напряжения σx в бетоне и глубина раскрытия трещин. Ниже в таблице.1 приведено сравнение результатов по ANSYS и данных [Источник].

Пять групп точек интегрирования (каждая состоит из 4-х точек, лежащих в плоскости, параллельной X-Z) принадлежащих трем нижним КЭ показывают раскрытие трещины. Третий снизу элемент имеет две группы точек интегрирования нижняя y = 84,328 мм и верхняя y = 106,172 мм. В нижней части элемента раскрытие трещины произошло, а в верхней нет. Таким образом, глубина трещины составила от 84,328 до

106,172 мм (см. рис. 27.4).

Рис. 27.4 Раскрытые трещины (красные окружности). Плоскость окружности показывает ориентациют трещины. 3D-визуализация

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. |Верификационныйvk.com/id446425943отчет. Том 2 (примеры из Verification Manual)

Рис. 27.5 Деформированая схема. 3D-визуализация

Рис. 27.6 Напряжения σx в бетоне, тс/м2. 3D-визуализация (элементы SOLID65)

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. |Верификационныйvk.com/id446425943отчет. Том 2 (примеры из Verification Manual)

Таблица 27.1 Сопоставление результатов расчёта. Глубина раскрытия трещины и напряжения

Максимальная по абсолютной величине погрешность δ = 0,330%

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. |Верификационныйvk.com/id446425943отчет. Том 2 (примеры из Verification Manual)

Пример 28 (VM155). Оптимизации формы консольной балки

Постановка задачи

Консольная балка переменной толщины (Рис. 28.1) на свободном конце нагружена изгибающим моментом M.

Требуется подобрать минимальное значение веса (объема) консоли при заданных ограничениях: максимальные напряжения σmax в балке не должны превышать 30000 psi, а максимальное перемещение не должно быть больше 0,5 in. Толщина консольной балки может варьироваться, кроме места приложения нагрузки, где принята толщина равная t.

Рис. 28.1 Иллюстрация задачи. Расчетная схема

Физические характеристики

Модуль упругости E = 10 × 106 psi Коэффициент Пуассона υ = 0,3

Геометрические характеристики

Длина консоли l = 10 in Ширина консоли b = 1 in

Толщина консоли на свободном концеt = 0.3 in

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. |Верификационныйvk.com/id446425943отчет. Том 2 (примеры из Verification Manual)

Описание КЭ модели

PLANE42 – используется для двухмерного моделирования тел. Элемент может использоваться в качестве плоского (с плоским напряженным или плоским деформированным состоянием) или в качестве осесимметричного элемента. Для подавления дополнительных форм перемещений имеется специальная опция. Исходные данные включают четыре узла (имеющими по две степени свободы), толщину (только при использовании опции плоского напряженного состояния) и свойства ортотропного материала.

В силу симметрии задачи, модель представляет собой “верхнюю” пловину консольной балки, лежащей в плоскости X-Y. Ось балки направлена вдоль оси X глобальной декартовой системы координат.

Характерные размеры элементов (длина×ширина) составили 0,625×0,25 in, таким образом, вычислительная размерность задачи – 34 узла и 16 КЭ. Число степеней свободы

68.

Граничные условия

“Левый” конец балки, x = 0

Ux = 0 Uy = 0

Узлы y = 0, условия симметрии относительно оси X

Узлы x = 0, условия антисимметрии (косой симметрии) относительно оси Y

Нагрузки

M = 450 lb×in

Рис. 28.2 КЭ-модель балки с указанием граничных условий, нагрузки и нумерации узлов

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. |Верификационныйvk.com/id446425943отчет. Том 2 (примеры из Verification Manual)

Методика расчёта

Целевая функция в данном примере – объем консольной балки, переменные проекта – толщины балки в 4-х сечениях, а переменные состояния – значения напряжения и перемещения балки.

Для решения данной задачи независимо друг от друга применялись два метода:

аппроксимации подзадачи (Subproblem Approximation Method) и первого порядка.

Метод аппроксимации подзадачи может быть описан как развитый метод нулевого порядка, котором требуются только значения зависимых переменных, но не их производных. Существуют две концепции, которые играют ключевую роль в методе аппроксимации подзадачи: использование аппроксимаций целевой функции и переменных состояния и преобразование задачи оптимизации с ограничениями в задачу, не имеющую ограничений.

Подобно методу аппроксимации подзадачи, метод первого порядка преобразует задачу в не имеющую ограничений путем добавления к целевой функции штрафных функций. Однако, в отличие от метода аппроксимации подзадачи, минимизиркется модель из конечных элементов, а не её приближение. Метод первого порядка использует градиенты зависимых переменных по переменным проекта. Для каждой итерации вычисления градиентов (которые могут использовать метод скорейшего спуска или метод сопряженных направлений) выполняются для определения направления поиска и для минимизации задачи, не имеющей ограничений, применяется стратегия линейного поиска.

При расчете методом аппроксимации подзадачи были установлены дополнительно 3 геометрических переменных состояния, для более точного определения толщины балки слева направо. Во втором случае эти ограничения не устанавливались.

Результаты расчёта

Результатами расчёта являются оптимальное значения объема (площади, веса) консольной балки, максимальное перемещение балки и максимальные напряжения, возникшие в консоли. Решение методом приближения подзадачи было получено за 11 итераций, методом первого порядка – за 15 итераций. Ниже в таблицах 1 и 2 приведено сравнение результатов по ANSYS и данных [Источник].

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. |Верификационныйvk.com/id446425943отчет. Том 2 (примеры из Verification Manual)

Рис. 28.3 Перемещения, in

Рис. 28.4 Напряжения σx, psi