
- •5. Векторы, основные определения, понятия, действия над ними
- •9. Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом; через две точки; в отрезках, общее уравнение
- •15. Предел числовой последовательности.
- •16. Предел функции, его геометрическая интерпретация, действия над пределами.
- •17. Первый и второй замечательный предел
- •18. Бесконечно малые величины, их свойства, эквивалентность.
- •19. Раскрытие неопределённостей
- •20. Непрерывность функции.Основные определения, теоремы
- •21. Точки разрыва
- •22. Свойство непрерывных функций на сегменте
- •23. Определение производной
- •24. Правила дифференцирования
- •25. Дифференциал функции
- •26. Производные высших порядков
- •27. Правило Лопиталя.
- •28. Применение производных к исследованию
- •30. Теорема Лагранжа, коши
- •31, Экстремум функции
- •32. Первообразная функции, интеграл и его свойства
- •33.Таблица интегралов
- •34. Методы вычисления неопределенного интеграла (непосредственное интегрирование, подстановкой, по частям).
- •35. . Интегрирование рациональных дробей.
- •36.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
- •37. Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •38. Интегрирование иррациональностей.
- •39. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
- •40. Формула Ньютона- Лейбница. Свойства определенного интеграла.
- •41. Методы вычислений определенного интеграла( непосредственное, подстановкой, по частям).
- •42. Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой).
- •57. Дифференциальные уравнения 1 порядка, задача Коши.
- •58 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •59 Однородные ду первого порядка
- •60 Ду, допускающие понижение порядка.
- •2. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
- •3. Уравнения, однородные относительно .
- •4. Обобщенно - однородные уравнения.
- •5. Уравнение в точных производных.
- •62 Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
- •63. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов.
- •71. Классификация событий. Сумма, произведение событий, их свойства, графическое представление.
- •72. Различные определения вероятности.
- •73. Теорема умножения вероятностей.
- •74. Схема Бернулли повторных испытаний. Формула Бернулли.
- •75. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
- •77. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Числовые характеристики.
- •78.Законы распределения: биномиальный, Пуассона, равномерный, показательный, нормальный.
- •79. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин.
- •80. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма.
24. Правила дифференцирования
Операция
отыскания производной от данной функции
называется дифференцированием
этой
функции. Установим ряд правил, которые
избавят нас от необходимости вычислять
производную исходя непосредственно
из ее определения .Производная
от аргумента х,
Полагая
y=x,
находим
Δy
=Δx.
Поэтому
.А
так как предел постоянной равен ей
самой, тo
y’=1.
Итак, (x)’=1Производная
постоянной .Докажем, что производная
постоянной равна нулю. В самом деле,
если
y=c,
то
Δy=0;
поэтому при всяком Δx≠0
имеем
.
Но тогда (так как предел постоянной
равен ей самой)
Итак,(c)’=0
Производная
суммы Докажем, что производная суммы
дифференцируемых функций равна
сумме их производных. Убедимся в этом
для суммы двух функций (для большего
числа слагаемых доказательство
аналогичное).Пусть y=u+v;
но
тогда Δy
=Δu
+ Δv.
Деля на
Δx,
имеем
.
Отсюда, переходя к пределу при, Δx→0
находим (так как предел суммы равен
сумме пределов):
или
y’=u’+v’
Производная произведения Найдем
производную произведения двух
дифференцируемых функций. y=u·v.
Когда
аргумент x
получает
приращение
,
то
функции и,
v
и
у
получат
соответственно приращения
,
Δv
и Δy,
причем
y+Δy
=(u+Δu)·(v+
Δv).
Отсюда находим Δy:
Δy
=(u+Δu)·(v+
Δv)-u·v=v·
Δu+
u·
Δv+
Δu·Δv.
25. Дифференциал функции
Таким
образом, установлены следующие
предложения, характеризующие свойства
дифференциала и связь его с приращением
функции..
Дифференциал функции равен произведению
ее производной на дифференциал аргумента
(независимого
переменного).
Разность между приращением функции
и
Δy
ее дифференциалом dy
есть
величина бесконечно малая более высокого
порядка, чем приращение аргумента
Δx,
а также
(при
y’≠0)
более высокого порядка, чем приращение
функции Δy
и ее дифференциал dy
(в
самом деле, при y’≠0
и Δx→0,
Δy
есть бесконечно малая того же порядка
малости, что и Δx
, так как
dy
также
будет бесконечно малой того же порядка,
поскольку dy=y’
·Δy).
В силу этого последнего свойства при
y’≠0
приращение функции
Δy
и ее дифференциал dy
будут при бесконечно малом равносильными
бесконечно малыми:
Дифференциал
функции имеет простой геометрический
смысл: значение
дифференциала функции, при данном
значении аргумента x
и данном приращении,
Δx
равно приращению ординаты касательной,,
проведенной в точке с абсциссой x
графика этой функции, при переходе от
точки касания (с абсциссой
x)
к соседней точке касательной с абсциссой
x+
Δx.В
самом деле, соответствующее приращение
ординаты касательной на рис. 4.5
изображается катетом KN
треугольника
MKN,
в
котором вторым катетом служит отрезок
МК=
,
а острый угол при вершине М
равен
,
причем
Но
тогда KN
=
МК
что
и требовалось доказать.
26. Производные высших порядков
Если
задана произвольная дифференцируемая
функция
,
то ее производная
,
как известно, в свою очередь является
функцией того же аргументa
x.
Поэтому можно ставить вопрос об отыскании
производной от этой функции.
Определение производной второго порядка
Производную
от производной данной функции, если
она существует, называют производной
второго порядка,
или второй
производной,
от данной функции и обозначают символом
.
Таким образом
В связи с этим производную в дальнейшем будем называть производной первого порядка, или первой производной.
Определение производной n–го порядка. Примеры
В
общем случае производной
порядка n+1
от данной функции называется производной
от производной
порядка этой функции:
.Очевидно,
что в силу принятого нами определения
производных высших порядков (если они
существуют у данной функции), будет
справедливо такое утверждение:
Производная
порядка от n-й
производных высших порядков (если они
существуют у данной функции), будет
равна производной
порядка
от этой функции (
-
целые положительные числа):
.Рассмотрим
несколько примеров отыскания производных
высших порядков.
1.
Найти производную
порядка от функции
.
Находим, выполняя последовательные дифференцирования:
.
2. Найти производную порядка от функций y=sin x и y=cos x.
Первую
производную от, sin
x
равную cos
x,
можно записать в следующем виде:
отсюда
следует, что операция дифференцирования
функции y=sin
x
по
x
формально
сводится к прибавлению
к аргументу синуса.
В
силу этого
;
поэтому
.
Дифференциалы высших порядков
Дифференциалом
второго порядка (его
обозначают символом
)
от функции
называют дифференциал ее дифференциала:
Найдем
его выражение. Имеем
,
причем
—
произвольное приращение аргумента
,
которое
от аргумента
не зависит. В виду этого при отыскании
второго дифференциала функции надо
рассматривать дифференциал
независимого
переменного как величину постоянную
относительно аргумента
.
Находим
Таким образом, второй дифференциал функции равен произведению ее второй производной на квадрат дифференциала независимого переменного:d2y=y”·dx2