9. Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом; через две точки; в отрезках, общее уравнение

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

О пределение. Тангенс угла наклона прямой к оси OX называется угловым коэффициентом прямой и обозначают . y=kx+b

 

Уравнение прямой, проходящей через две точки

– каноническое уравнение прямой на плоскости.

Уравнение прямой в отрезках (рис 4.3)

Общее уравнение прямой на плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени относительно x и y:

Ax+By+C=0 (4.10), где A, B, C – произвольные числа.

Уравнение (4.10) называется общим уравнением прямой.

10. Уравнения плоскости: в векторной, координатной формах.

Р ассмотрим на плоскости произвольную точку M(x,y, z). Тогда (ри сунок 4.12) . Так как вектор перпендикулярен плоскости, то . Следовательно, (4.45)

Уравнение (4.45) есть векторное уравнение плоскости, проходящей через точку M₀.

Но , а . Тогда скалярное произведение векторов, т.е. левая часть (4.45), будет:

= A (x – x₀) + B (y – y₀) + C (z – z₀) = 0 (4.44)

Мы пришли к уравнению плоскости, проходящей через данную точку, в координатной форме.

11. Уравнение прямой в пространстве.

(4.57)

Уравнения (4.57) определяют общее уравнение прямой в пространстве, если плоскости, определяемые этими уравнениями, различны и не параллельны, где n₁=(A_1,B_1,C₁), n₂=(A_2,B_2,C₂).

В декартовой системе прямоугольных координат уравнение любой плоскости приводится к виду Ах+Ву+Сz+D=0, где A,B,C,D - заданные числа, причем А²+В²+С²>0.

12. Расстояние от точки до плоскости.

Если уравнение плоскости задано в общем виде Ax + By + Cz + D = 0, то, чтобы найти расстояние от данной точки M₀(x₀,y₀,z₀),то расстояние от точки до плоскости находится по формуле:

.

13. Условия параллельности и перпендикулярности векторов.

Условием параллельности (коллинеарности) векторов является векторное произведение, равное нулю. Условием перпендикулярности (ортогональности) векторов является скалярное произведение, равное нулю.

14. Канонические уравнения кривых второго порядка: формулы, определения, чертеж.

Каноническое уравнение окружности

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки называемой центром.

Рассмотрим на кривой любую произвольную точку M(x, y) и обозначим C₀(x₀, y₀) через центр окружности. Тогда CM = — радиус окружности.

Возведя обе части в квадрат, получим:

= R² (5.2)

Уравнение (5.2.) называется каноническим уравнением окружности.

Каноническое уравнение эллипса

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a.

Для вывода канонического уравнения эллипса выберем начало O декартовой системы координат в середине отрезка F₁F₂. Обозначим через 2C расстояние F₁F₂ = 2C и F₁ (-С, 0), F₂ (С, 0).

Рассмотрим любую произвольную точку M(x,y) на эллипсе. Тогда по определению F₁ М + F₂ М = 2a , где F₁М= и F₂М= . Тогда это и называется каноническим уравнением эллипса.

К аноническое уравнение гиперболы.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Чтобы составить уравнение гиперболы, возьмем за ось ОХ прямую, проходящую через точки F₁ (С, 0) и F₂ (-С, 0). Обозначим через 2С расстояние между F₁ и F₂, т.е. F₁F₂ = 2С. Через середину отрезка F₁F₂ проведем ось OY.

Рассмотрим любую произвольную точку M(x,y) на гиперболе. Тогда по определению

F₁ М - F₂ М = ± 2a. Тогда это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Определение параболы и вывод её канонического уравнения

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равностоящих от одной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Чтобы составить уравнение параболы, примем за ось Ox прямую, проходящую через фокус F перпендикулярно к директрисе. Будем считать, что начало координат O совпадает с серединой отрезка AF (рисунок 5.5), длина которого равна параметру P. Фокус F имеет координаты F(P/2; 0). Рассмотрим на параболе произвольную точку M(x,y). Тогда по определению FM = MN, где N (-P/2;y).

или , откуда

(5.19)

Уравнение (5.19) называется каноническим уравнением параболы.