15. Предел числовой последовательности.

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число a_n , то говорят, что задана числовая последовательность . То есть, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: a_n=f(x). Числа а₁,а₂,….,а_n… называются членами последовательности, а число a_n – общим или n-ым членом данной последовательности.Можно заметить, что члены последовательности a_n с ростом n как угодно близко приближаются к 1. при этом абсолютная величина разности становится все меньше и меньше. Действительно: т.е с ростом n будет меньше сколь угодно малого положительного числа.

Число A называется пределом числовой последовательности , если для любого даже сколь угодно малого положительного числа e>0 найдется такой номер N( зависящий от e, N=N(e)), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство: (6.2).

Предел числовой последовательности обозначается или а_n→А при n→∞. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Смысл определения предела числовой последовательности состоит в том, что для достаточно больших n члены последовательности как угодно мало отличаются от числа А. Важно: номер N, не может быть указан раз и навсегда: он зависит от выбора числа Ɛ.При уменьшении Ɛ, соответствующий номер Ne, вообще говоря увеличивается.

Для геометрической интерпретации понятия предела числовой последовательности распишем неравенство: (1) ,

Изобразим числа А, А + e, А-e и значение а_n точками на числовой оси. Получим наглядно геометрическое истолкование предела последовательности:

Какой бы малый отрезок (длины 2e) с центром в точке А ни взять, все точки аn, начиная с некоторой из них должны попасть внутрь этого отрезка (так, что вне его может остаться лишь конечное число этих точек).

16. Предел функции, его геометрическая интерпретация, действия над пределами.

Рассмотрим числовое множество . Точка «a» называется точкой сгущения этого множества, если в любой близости от a содержатся значения x из X отличные от a.

Или: введем понятие окрестности точки а: так называется любой открытый промежуток с центром в точке а. Теперь можно сказать, что точка «а» будет точкой сгущения множества x , если в каждой ее окрестности содержатся отличные от а значения x из X.

Пусть в области x, для которой точка а является точкой сгущения, задана некоторая функция f(x). Представляет интерес поведение этой функции при приближении «x» к «а».

Число А называется пределом функции y=f(x) при x стремящемся к а, если для любого e>0 существует число d(e)>0 такое, что при ½x-a½<d(e) выполняем неравенство ½f(x)-A½<e.

В этом случае пишут (1)

Если область x такова, что в любой близости от а, но справа от а, найдутся отличия от а значение x из x (в этом случае точку а называют правой точкой сгущения), то можно дать определение предела функции, ограничиваясь лишь значением x>a. В этом случае предел функции называется пределом функции f(x) при стремлении x к а справа.

Число А называется правосторонним пределом или пределом справа функции f(x) в точке x=a если для "e>0 $ d(e)>0, что при 0<x-a<d(e) выполняется неравенство ½f(x)-A½<e. Пишут

Число А называется левосторонним пределом или пределом слева функции f(x) в точках x=a, если для любого e>0 $ d(e)>0, что при 0<а-x<d(e) выполняется неравенство ½f(x)-A½<e. Пишут .

Число А называется пределом функции y=f(x) при x®¥ если для "e>0 существует число M(e)>0 такое что при ½x½> M(e) выполняется неравенство ½f(x)-A½<e, пишут.

Предел функции в некотором смысле может быть сведен к пределу последовательности.

Пусть множества x={x} имеет точку сгущения а (а - конечна или бесконечна). Тогда из x (бесконечным множеством способов) можно извлечь, такую последовательность x1 , x2 , xn … (2) значений x (отличных от а) которая имела бы своим пределом а.

Последовательности (2) соответствует последовательность значений функций f(x1), f(x2) …f(xn) (3)

При условии равенства (1) эта последовательность всегда имеет предел А (без доказательства).

Получим второе определение предела функции. для любой последовательности (2), имеющей пределом а, соответствует последовательность (3), имеющая предел А.

Действия над пределами.

1. Если {xn} и {yn} имеют конечные пределы , то и сумма (разность) их также имеет конечный предел,

2. Если {xn} и {yn} имеют конечные пределы: , то их произведение также имеют конечный предел

3. Если {xn} и {yn} имеют конечные пределы: причем b¹0, то их отношение также имеет конечный предел .