- •5. Векторы, основные определения, понятия, действия над ними
- •9. Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом; через две точки; в отрезках, общее уравнение
- •15. Предел числовой последовательности.
- •16. Предел функции, его геометрическая интерпретация, действия над пределами.
- •17. Первый и второй замечательный предел
- •18. Бесконечно малые величины, их свойства, эквивалентность.
- •19. Раскрытие неопределённостей
- •20. Непрерывность функции.Основные определения, теоремы
- •21. Точки разрыва
- •22. Свойство непрерывных функций на сегменте
- •23. Определение производной
- •24. Правила дифференцирования
- •25. Дифференциал функции
- •26. Производные высших порядков
- •27. Правило Лопиталя.
- •28. Применение производных к исследованию
- •30. Теорема Лагранжа, коши
- •31, Экстремум функции
- •32. Первообразная функции, интеграл и его свойства
- •33.Таблица интегралов
- •34. Методы вычисления неопределенного интеграла (непосредственное интегрирование, подстановкой, по частям).
- •35. . Интегрирование рациональных дробей.
- •36.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
- •37. Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •38. Интегрирование иррациональностей.
- •39. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
- •40. Формула Ньютона- Лейбница. Свойства определенного интеграла.
- •41. Методы вычислений определенного интеграла( непосредственное, подстановкой, по частям).
- •42. Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой).
- •57. Дифференциальные уравнения 1 порядка, задача Коши.
- •58 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •59 Однородные ду первого порядка
- •60 Ду, допускающие понижение порядка.
- •2. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
- •3. Уравнения, однородные относительно .
- •4. Обобщенно - однородные уравнения.
- •5. Уравнение в точных производных.
- •62 Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
- •63. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов.
- •71. Классификация событий. Сумма, произведение событий, их свойства, графическое представление.
- •72. Различные определения вероятности.
- •73. Теорема умножения вероятностей.
- •74. Схема Бернулли повторных испытаний. Формула Бернулли.
- •75. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
- •77. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Числовые характеристики.
- •78.Законы распределения: биномиальный, Пуассона, равномерный, показательный, нормальный.
- •79. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин.
- •80. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма.
71. Классификация событий. Сумма, произведение событий, их свойства, графическое представление.
События делятся на:
1. Случайные
2. Достоверные
3. Невозможные
Достоверное – это такое событие, которое наступает обязательно в данных условиях (за ночью следует утро).
Случайное – это такое событие, которое может произойти, а может и не произойти (сдача экзамена).
Невозможное – это такое событие, которое в данных условиях не наступит (достать зеленый карандаш из коробки только с красными).
Классификация случайных событий.
Среди случайных событий различают:
1. Равновозможные.
2. Единственно возможные.
3. Несовместные.
4. Полная система событий.
5. Противоположные события.
Равновозможными называются события, если нет оснований считать, что одно из них наступит чаще, чем другое.
Единственно возможные – это события, если наступает одно из них и никакое другое.
Несовместными называются события, если появление одного из них исключает появление другого.
Полной системой событий называются события, единственно возможные и несовместные.
Два события называются противоположными, если они образуют полную систему.
Суммой двух событий А и В называется третье событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий ( или события А, или события В, или обоих вместе).
Обозначается С = А + В или С = А È В (рис. 2.1а).
Пример 1:
А – первый стрелок попал в цель;
В – второй стрелок попал в цель;
С – хотя бы один стрелок попал в цель.
С = А + В.
Произведением двух событий А и В называется третье событие С, которое состоит в появлении А и В одновременно.
Обозначается: С = А × В или С = А Ç В (рис. 2.1б).
Операции сложения и умножения событий обладают следующими свойствами:
1. А+В=В+А – коммутативность сложения.
2. А+(В+С)=(А+В)+С – ассоциативность сложения.
3. АВ=ВА – коммутативность умножения.
4. А(ВС)=(АВ)С - ассоциативность умножения.
5. А(В+С)=АВ+АС; А+ВС=(А+В)(А+С) – законы дистрибутивности.
72. Различные определения вероятности.
Классическое определение вероятности события
Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события. Это определение, качественно отражающее определение вероятности события, не является математическим. Чтобы оно стало таким, необходимо определить его количественно.
Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Такие исходы называются элементарными исходами или случаями.
Случай называется благоприятствующим (благоприятным) событию А, если появление этого случая влечет за собой появление события А.
Вероятностью события называется отношение числа благоприятствующих исходов испытания общему числу всех единственно возможных и равно возможных исходов испытания. Обозначается:
где m – число благоприятствующих исходов испытания; n – число всех исходов испытания.
Статистическое определение вероятности
Проводится серия статистических наблюдений, N – количество наблюдений, M – число появления события А (M £ N).
- относительная частота появления события А.
Если в различных сериях наблюдений относительные частоты меняются мало, т.е. обладают свойством устойчивости, то можно ввести понятие вероятности.
Статистической вероятностью события А называется число, около которого группируются устойчивые значения относительных частот:
Иначе: Статистической вероятностью события называется предел частости при неограниченном увеличении числа испытаний.
Геометрическое определение вероятности
Одним из недостатков классического определения вероятности, ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания.
Оказывается, иногда этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.).
Пусть, например, плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания туда брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность события А – попадание брошенной точки на фигуру g – пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g, найдем
Р(А)= ,
Где Sg и SG – соответственно площади областей g и G (рисунок 1.1).
Фигуру g называют благоприятствующей событию А.