5. Уравнение в точных производных.

Рассмотрим уравнения вида ,                 (1)

Такие уравнения называются уравнениями в точных производных. Из последнего равенства следует, что соотношение

является первым интегралом уравнения (1) - уравнением (n-1) - го порядка относительно искомой функции. Таким образом, уравнение в точных производных допускают понижение порядка на единицу.

61 Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение.

Для линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = 0,

1) существуют n линейно независимых решений уравнения y1(x), y2(x), ..., yn(x);

2) при любых значениях констант c1, c2, ..., cn функция y(x)= c1 y1(x) +  c2 y2(x) + ... + cn yn(x) является решением уравнения;

3) для любых начальных значений x0,  y0,   y0,1, ..., y0,n-1 существуют такие значения c*1, c*n, ..., c*n, что решение y*(x)=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) ... + c*n yn (x) удовлетворяет при x = x0 начальным условиям y*(x0)=y0, (y*)'(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Выражение  y(x)= c1 y1(x) +  c2 y2(x) + ... + cn yn(x) называется общим решением линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Совокупность n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка y1(x), y2(x), ..., yn(x) называется фундаментальной системой решений уравнения.

Для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами существует простой алгоритм построения фундаментальной системы решений. Будем искать решение уравнения в виде y(x) = exp(lx): exp(lx)(n)+a1exp(lx)(n-1)+...+an-1exp(lx)'+anexp(lx)=(ln+a1ln-1+...+an-1l+an)exp(lx)=0, т.е.число l является корнем характеристического уравнения ln+a1ln-1+...+an-1l+an=0.

Левая часть характеристического уравнения называется характеристическим многочленом  линейного дифференциального уравнения: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Таким образом, задача о решении линейного однородного уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами сводится к решению алгебраического уравнения. Если характеристическое уравнение имеет n различных действительных корней

l1№ l2 № ... № ln, то фундаментальная система решений состоит из функций  y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), ..., yn(x) = exp(lnx), и общее решение однородного уравнения имеет вид:

y(x)= c1 exp(l1x) +  c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

Таким образом, для отыскания общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует: записать характеристическое уравнение; найти все корни характеристического уравнения l1, l2, ... , ln; записать фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x); записать выражение для общего решения y(x)= c1 y1(x) +  c2 y2(x) + ... + cn yn(x).