21. Точки разрыва

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если: 1) она определена в этой точке; 2) существует ; 3) этот предел равен значению функции в точке х₀, т.е. .Если хотя бы одно из этих трёх условий не выполняется, то функция называется разрывной в точке х₀, а сама точка х₀ называется точкой разрыва функции.

 Классификация точек разрыва

 Различают следующие виды разрывов:

1)устранимый разрыв

2)разрыв первого рода или скачок

3)разрыв второго рода

Разрывы первого и второго рода неустранимы

22. Свойство непрерывных функций на сегменте

Определение. Функция f(x) называется непрерывной на сегменте [а, b], если она непрерывна в интервале (а, b) и кроме того в точке а непрерывна справа, а в точке b слева.

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [а, b], и на концах его принимает значения разных знаков, то между точками а и b найдется точка с такая, что f (c)=0

Это свойство имеет простой геометрический смысл, если непрерывная кривая переходит с одной стороны оси ox на другую, то она пересекает ось ox.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [а, b], то она ограничена на нем, т.е. существует такое положительное М, что

Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то на этом сегменте найдутся точки x₁ и x₂ такие, что значения функции f(x₁) и f(x₂) будут соответственно наибольшим и наименьшим из всех значений функции f(x) на сегменте [a, b].

23. Определение производной

Производной у' или f_’(x) от данной функции y= f(x) называется пре­дел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргу­мента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

или Производная от функции y= f(x) сама является функцией аргу­мента х.Для получения производной при определенном значении х₀ аргумента х мы придаем значению х₀ приращение Δx, что вызывает соответствующее приращение функ­ции Δy= f(x+Δx)- f(x), затем составляем отношение приращений и вычисляем предел этого отношения, зависящего как х₀, так и от Δx, при, Δx→0 сохраняя x₀ неизменным. Следовательно, такой предел [обозначим его f’(x₀)]

Непрерывность и дифференцируемость функции

Согласно определению, производная от данной функции y= f(x) равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

Но этот предел существует не для всякой функции, а если и существует, то не обязательно при всех значениях ее аргумента, для которых функция определена.

Функция, имеющая в данной точке x₀ производную, называется диф­ференцируемой в этой точке; функция, имеющая производную во всех точ­ках некоторого промежутка (a,b) называется дифференцируемой в этом про­межутке. Очевидно, что необходимым условием дифференцируемости функции в данной точке или в данном промежутке является ее непрерывность (со­ответственно в точке или в промежутке); в самом деле, предел в правой час­ти может существовать лишь тогда, когда Δy - бесконечно малая одновременно с Δx, т. е. когда функция непрерывна.