18. Производные функции по направлению, градиент.

Пусть функция трех переменных и задана в некоторой окрестности точки . Рассмотрим некоторое направление, определяемое единичным вектором а с координатами (из аналитической геометрии известно, что если единичный вектор а составляет с осями координат углы , то координаты этого вектора равны ). Проведем через точку ось , направление которой совпадает с направлением вектора а, возьмем на этой оси произвольную точку и обозначим через величину направленного отрезка указанной оси.

Величиной направленного отрезка оси называется число, равное его длине, взятой со знаком плюс, если направление этого отрезка совпадает с направлением оси , и со знаком минус, если направление этого отрезка противоположно направлению оси .

Из аналитической геометрии известно, что координаты , точки определяются равенствами

, , . (1)

На указанной оси функция , очевидно, является сложной функцией одной переменной величины . Если эта функция имеет в точке =0 производную по переменной , то эта производная называется переменной по направлению от функции в точке и обозначается символом . В случае дифференцируемости функции в точке производная может быть вычислена по формуле

,

в которой аргумент нужно заменить на . Таким образом,

.

Так как , то из последней формулы находим

. (2)

Опр. Напомним, что приращением (или полным приращением) функции в точке , соответствующим приращениям аргументов, называется выражение

.

Функция называется дифференцируемой в данной точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

, (3)

где - некоторые не зависящие от числа, а - бесконечно малые при функции, равные нулю при .

Соотношение (3) называется условием дифференцируемости функции в данной точке . Условие (3) дифференцируемости функции можно записать также в иной форме. Для этого рассмотрим бесконечно малую при функцию , и отметим, что эта функция обращается в нуль лишь при . Убедимся теперь, что входящая в правую часть соотношения (3) сумма представляет собой бесконечно малую более высокого порядка функцию по сравнению с . Иными словами, убедимся, что эта сумма представляет собой выражение . В самом деле, при 0 справедливо , и поэтому . Из (3) следует, что .

Опр. Дифференциалом дифференцируемой в точке функции называется главная линейная относительно приращений аргументов часть приращения этой функции в точке . Если все коэффициенты в представлении (3) приращения дифференцируемой функции равны нулю, то дифференциал функции в точке считается равным нулю.

Таким образом, дифференциал дифференцируемой в точке функции называется выражение

. (4)

Мы можем, очевидно, переписать выражение (4) для дифференциала следующим образом:

(5)

Введем понятие дифференциала независимой переменной . Под дифференциалом независимой переменной можно понимать любое (не зависящее от ) число. Договоримся в дальнейшем брать это число равным приращению независимой переменной . Эта договоренность позволяет нам переписать формулу (4) в виде

(6)

Введем понятие градиента дифференцируемой в точке функции .

Градиентом функции в точке называется вектор, обозначаемый символом и имеющий координаты, соответственно равные производным , взятым в точке . Таким образом,

. (7)

Используя понятие градиента функции и учитывая, что вектор a, определяющий направление оси , имеет координаты , представим выражение (2) для производной по направлению в виде скалярного произведения векторов и а:

. (8)

Покажем, что градиент функции в точке характеризует направление и величину максимального роста этой функции в точке . Именно, убедимся, что производная функции в точке по направлению, определяемому градиентом этой функции в указанной точке, имеет максимальное значение по сравнению с производной по любому другому направлению в точке , а значение указанной производной равно , т.е. длине вектора .

Перепишем формулу (8) в виде ,

где – угол между векторами а и . Так как , то .

Из последней формулы вытекает, что максимальное значение производной по направлению будет при , т.е. когда направление вектора а совпадает с направлением , при этом .

Замечание. В случае функции двух переменных и единичный вектор а, определяющий направление в точке , имеет координаты и . Поэтому в указанном случае формула (2) принимает вид

.

Отметим, что в случае функции двух переменных градиент дифференцируемой функции определяется как вектор, имеющий координаты и . Формула (8), очевидно, справедлива и в случае двух переменных. Для функции m переменных производная по направлению и градиент определяется аналогично. Имеем, производная в точке по направлению , которое задается единичным вектором , определяется как производная по сложной функции , где . В случае, если - дифференцируемая функция, для производной по направлению имеет место формула

.

Градиентом функции в данной точке называется вектор, обозначаемый символом и имеющий координаты , причем указанные производные берутся в т. . Для производной по направлению дифференцируемой функции справедлива формула (8).