11. Дифференцируемость функции в точке. Функции, дифференцируемые на интервале и их свойства: Теоремы, Роля, Лагранжа.

Дифференцируемость функции в точке

Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a,b), x-некоторая фиксированное значение аргумента из указанного интервала, x-любое приращение аргумента.

Опр. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в данной точке x, если приращение y этой функции в точке x, соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде y=A x + x, где А - некоторое число, не зависящее от x, а - функция аргумента x, является бесконечно малой при x 0.

Теорема. Для того чтобы функция y=f(x) являлась дифференцируемой в данной точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Док-во: 1) Необходимость: пусть функция y=f(x) дифференцируема в данной точке x, то есть ее приращение y в этой точке представимо в виде y=A x + x. Предположив, что x#0 поделим это равенство на x. Получим =A+ . Из этого равенства вытекает существование производной, т.е. lim( x 0) =A

2) Достаточность: пусть функция y=f(x) имеет в данной точке x конечную производную, т.е. существует предельное значение lim( x 0) = f ’(x)

В силу определения предельного значения функция = - f’’(x) аргумента x является бесконечно малой при x 0, т.е. y= f’’(x) x + x, где lim( x 0) =0. Это представление совпадает с представлением y=A x + x, если обозначать через А не зависящее от x число f’’(x). Т.е. функция y=f(x) дифференцируема в точке x.

Теорема. Если каждая из функций u(x) и v(x) дифференцируема в данной точке x, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в этой точке:

[ u(x) ]’ = u’(x) v’(x),

[u(x) v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x),

Опр. Функция y=f(x) называется дифференцируемой на интервале, если она дифференцируема во всех внутренних точках этого интервала.

Теорема Ферма. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке c и имеет в этой точке локальный экстремум, то f ’(c)=0.

Опр. локального max(min): Говорят, что функция y=f(x) имеет в точке c локальный max(min), если найдется такая окрестность точки с, в пределах которой значение f(с) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этих функций.

Док-во: По условию теоремы существует конечная производная f ‘(с). Так как функция y=f(x) имеет в точке с локальный экстремум, то она не может в этой точке с не возрастать, ни убывать. Значит в силу леммы о достаточном условии возрастания и убывания функции в точке ( Если функция y=f(x) дифференцируема в точке с и f ’(c) >0 ( f ‘(c)<0 ), то функция y=f(x) возрастает (убывает) в точке с ), f ‘(c) не может быть ни положительной, ни отрицательной. Следовательно, f ‘(c)=0. ч.

Геометрически теорема Ферма утверждает, что если в той точке кривой y=f(x), в которой достигается локальный экстремум, существует касательная к этой кривой, то эта касательная обязательно параллельна оси Оx.

Опр., которые встречаются в теореме Ролля:

Опр непрерывности: Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если предельное значение этой функции в точке а существует и равно частному значению f(a).

Опр производной функции: Производная функции y=f(x) в данной фиксированной точке x называется предел при x 0 разностного отношения

(при условии, что этот предел существует).

Опр: Функция f(x) называется ограниченной сверху(снизу), на множестве {x}, если найдется такое вещественное число М(число m), что для всех значений аргумента x на множестве {x} справедливо неравенство: f(x) M (f(x) m) при этом М - верхняя грань (m-нижняя грань) функции f(x).

Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши)

Теорема Коши. Если каждая из двух функций f(x) и g(x) непрерывна на сегменте [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента и если, кроме того, производная g ‘(x) отлична от нуля всюду внутри сегмента [a,b], то внутри этого сегмента найдется точка ζ, такая, что - обобщенная формула конечных приращений или формула Коши.

Док-во: Докажем, что g(a) g(b). В самом деле, если бы это было не так, то для функции g(x) были бы выполнены все условия теоремы Роля и по этой теореме внутри сегмента [a,b]нашлась бы точка ζ : g ‘(ζ)=0. А это противоречит условию теоремы. Итак, g(a) g(b), поэтому можно рассмотреть следующую вспомогательную функцию:

. В силу требований, наложенных на функции f(x) и g(x), функция F(x) непрерывна на сегменте [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках сегмента. Кроме того, очевидно, что F(a)=F(b)=0. Т.е. для F(x) выполнены все условия теоремы Роля. Согласно этой теореме внутри сегмента найдется точка ζ : F(ζ)=0. Т.к. имеем . Учитывая, что g’(ζ) 0 получим формулу Коши.