15. Функции многих переменных. Ограниченность функции. Предел функции многих переменных.

Понятие евклидовой плоскости и евклидового пространства.

Множество всевозможных упорядоченных пар (х,у) вещественных чисел х и у называется координатной плоскостью. При этом каждую пар (х,у) будем называть точкой этой плоскости и обозначать буквой М. Числа х и у называются координатами точки М.

Опр Координатная плоскость называется евклидовой плоскостью, если между любыми двумя точками M^I (x^I, y^I) и M^II (x^II, y^II) координатной плоскости определено расстояние p(M^I, M^II) по формуле

p(M^I, M^II)=

Опр Множество всевозможных упорядоченных троек (x, y, z) чисел x, y, z называется координатным пространством.

Опр Координатное пространство называется евклидовым пространством, если между любыми двумя точками M^I (x^I, y^I, z^I) и M^II (x^II, y^II, z^II) координатного пространства определено расстояние по формуле p(M^I, M^II)=

Расстояние определено на евклидовой прямой p(x^|,x^||)= .

Некоторые множества евклидового пространства:

1. Круг : (x-a)²+(y-b)² R², Шар: (x-a)²+(y-b)²+(z-c)² R²

2. Координатный прямоугольник: |x-a| d₁, |y-b| d₂ ; (центр M(a,b))

Координатный параллелепипед: |x-a| d₁, |y-b| d₂ ; |z-c| d₃ ; (центр M(a,b,c))

Понятие m – мерного евклидового пространства и m – мерного координатного пространства.

Множество всевозможных упорядоченных совокупностей (x₁, x₂, …., x_m) m чисел x₁, x₂, …., x_m называется m – мерным координатным пространством.

Координатное пространство А^m называется m –мерным евклидовым пространством E^m, если между любыми двумя точками M^| (x₁^|, x₂^|, …….x_m^|) и M^|| (x₁^||, x₂^||, …….x_m^||) координатного пространства А^m определено расстояние p (M^|, M^||) по формуле (по сути является метрическим пространством (функ.ан.))

p (M^|, M^||)=

Множества точек m – мерного пространства Е^m.

1. m-мерный шар: (x₁-x₁⁰)²+(x₂-x₂⁰)²+……….+(x_m-x_m⁰) R²

2. m-мерный параллелепипед: | x₁-x₁⁰| d₁, | x₂-x₂⁰| d₂, ….. , | x_m-x_m⁰| d_m

Открытый шар и открытый параллелепипед вводятся через строгое неравенство (<).

Опр Будем называть -окрестностью точки M₀(x₁⁰, x₂⁰, …, x_m⁰) m –мерного евклидового пространства E^m открытый m-мерный шар радиуса с центром в точке М₀. Прямоугольной окрестностью точки M₀(x₁⁰, x₂⁰, …, x_m⁰) m –мерного евклидового пространства называется любой открытый m-мерный координатный параллелепипед с центром в точке М₀.

Утверждение: Любая -окрестность точки М₀ евклидова m-мерного пространства Е^m содержит некоторую прямоугольную окрестность этой точки. Любая прямоугольная окрестность точки М₀ содержит некоторую -окрестность точки М₀.

Опр Точка множества называется внутренней точкой этого множества, если существует некоторая -окрестность точки М, все точки которой принадлежат множеству { М } .

Опр Точка М называется граничной точкой множества { М }, если любая -окрестность этой точки содержит как точки, принадлежащие множеству { м }, так и не принадлежащие ему.

Опр Множество { М } пространства E^m называется открытым множеством или областью, если любая точка этого множества внутренняя.

Опр Если каждая граничная точка множества { М } является точкой этого множества, то множество { М } называется замкнутым.

Опр Если множество { М } представляет собой область, то множество { М }, полученное присоединением к { М } всех граничных точек этого множества, называется замкнутой областью.

Опр Если все точки области { М } находятся внутри некоторого шара, то эта область называется ограниченной.

Опр Непрерывной кривой L в пространстве E^m мы будем называть множество { М } точек этого пространства, координаты x₁, x₂, …., x_m которых представляют собой непрерывные функции параметра t: …..,

Мы будем говорить, что точки M^| (x₁^|, x₂^|, … , x_m^|) и M^| (x₁^||, x₂^||, … , x_m^||) пространства E^m можно соединить непрерывной кривой L, если существует такая непрерывная кривая L, определяемая параметрическими уравнениями, что … ,

… ,

Сформулируем понятие связанного множества. Множество { М } пространства E^m называется связным, если две любые его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.

Замечание: Иногда, областью называют открытое и связное, f не просто открытое множество.

Понятие функции m переменных

Если каждой точке М из множества { М } точек m-мерного евклидового пространства E^m ставится в соответствие по известному закону некоторое число u, то говорят, что на множестве { М } задана функция u=u(М) или u=f(М). При этом множество М называется множеством задания функции u=f(М).

Предельное значение функции нескольких переменных

Опр Последовательность { М } точек евклидова пространства E^m называется сходящейся, если существует такая точка А, что для любого положительного числа можно указать номер N, такой, что при n N выполняется неравенство p(M_n, A)< . При этом точка А называется пределом последовательности {M_n}. Обозначение :

Лемма 1 Пусть последовательность {M_n} точек евклидова пространства E^m сходится к точке А. Тогда последовательности {x₁⁽ⁿ⁾}, { x₂⁽ⁿ⁾}, …, { x_m⁽ⁿ⁾} координат точек M_n сходятся к соответствующим координатам a₁, a₂, … , a_m точки А, и наоборот, если последовательности {x₁⁽ⁿ⁾}, { x₂⁽ⁿ⁾}, …, { x_m⁽ⁿ⁾} координат точек M_n сходятся соответственно к числам a₁, a₂, … , a_m, то последовательность {M_n} сходится к точке А с координатами a₁, a₂, … , a_m.

Док-во: Т.к. конкретно этого пункта нет в вопросе, док-во этой леммы не привожу.

Опр Последовательность {M_n} точек в m-мерного евклидова пространства называется фундаментальной или последовательностью Коши, если для любого положительного числа можно указать такой номер N, что при n N и для любого натурального р выполняется неравенство p(M_n+p, M_n)< . Справедлив следующий критерий сходимости (критерий Коши).

Для того чтобы последовательность {M_n} точек m-мерного евклидова пространства была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Некоторые свойства ограниченных последовательностей точек в m-мерном евклидовом пространстве.

Последовательность {M_n} точек m-мерного евклидова пространства называется ограниченной, если существует такое число a>0, что для всех n выполняется неравенство p(O, M_n) a, где О-точка, все координаты которой равны нулю. (Иными словами, последовательность {M_n} является ограниченной, если все точки M_n этой последовательности находятся внутри или на границе некоторого шара с центром в начале координат).

Теорема 4.16 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности {M_n} точек m-мерного евклидова пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Док-во: Убедимся, во-первых, что последовательности {x₁⁽ⁿ⁾}, { x₂⁽ⁿ⁾}, …, { x_m⁽ⁿ⁾} координат точек M_n являются ограниченными. Действительно, т.т. последовательность {M_n} ограничена, то для всех n выполняется неравенство p(0,M_n) а. Поскольку p(0,M_n)= , то отсюда следует, что для всех тт выполняются неравенства |x₁⁽ⁿ⁾| a, |x₂⁽ⁿ⁾| a, … , |x_m⁽ⁿ⁾| a. Иными словами, последовательности {x₁⁽ⁿ⁾}, { x₂⁽ⁿ⁾}, …, { x_m⁽ⁿ⁾} координат точек M_n ограничены. В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса для числовых последовательностей из последовательности {x₁⁽ⁿ⁾} можно выделить подпоследовательность {x₁⁽ⁿ_k1⁾}, сходящуюся к некоторому числу а₁. Рассмотрим соответствующую подпоследовательность {x₂⁽ⁿ_k1⁾} последовательности вторых координат точек M_n. В силу той же теоремы из подпоследовательности {x₂⁽ⁿ_k1⁾} можно выделить подпоследовательность {x₂⁽ⁿ_k2⁾}, сходящуюся к некоторому числу а₂. Заметим, что подпоследовательность {x₁⁽ⁿ_k2⁾} последовательности {x₁⁽ⁿ_k1⁾} сходится к числу а₁. Итак, подпоследовательности {x₁⁽ⁿ_k2⁾} и {x₂⁽ⁿ_k2⁾} сходится к числам а₁ и а₂ соответственно. Очевидно, что если мы из подпоследовательности {x₃⁽ⁿ_k2⁾} последовательности третьих координат точек M_n выделим сходящуюся к некоторому числу а₃ подпоследовательность {x₃⁽ⁿ_k2⁾}, то подпоследовательности {x₁⁽ⁿ_k3⁾}, {x₂⁽ⁿ_k3⁾}, {x₃⁽ⁿ_k3⁾} сходятся соответственно к числам a₁, a₂, a₃. Продолжая эти рассуждения, мы, наконец, получим сходящуюся к некоторому числу a_m подпоследовательность {x_m⁽ⁿ_km⁾} последовательности m-х координат точек M_n, причем подпоследовательности {x₁⁽ⁿ_km⁾}, {x₂⁽ⁿ_km⁾}, ……, {x_m⁽ⁿ_km⁾} сходятся к числам a₁, a₂, ……., a_m соответственно. Но тогда, в силу леммы 1, подпоследовательность { } последовательности точек {M_n} сходится к точке А с координатами a₁, a₂, ……., a_m . Теорема доказана.

Замечание: Предел А последовательности {M_n} точек, принадлежащих замкнутому множеству {M}, также принадлежит этому множеству.

Понятие предельного значения функции нескольких переменных.

Рассмотрим функцию u=f(M), определенную на множестве { М } m-мерного евклидова пространства, и точку А этого множества, быть может, и не принадлежащую множеству { М }, но обладающую тем свойством, что в любой -окрестности этой точки содержится хотя бы одна точка множества { М }, отличная от А.

Опр 1 Число b называется предельным значением функции u=f (М) в точке А (или пределом функции при М А), если для любой сходящейся к А последовательности М₁, М₂, …, М_n, … точек множества {M}, элементы M_n которой отличны от А (M_n А), соответствующая последовательность f(M₁), f(M₂), …., f(M_n), … значений функции сходится к b.

Опр 2 Число b называется предельным значением функции u=f (М) в точке А, если для любого положительного числа можно указать такое положительное число , что для всех точек М из области задания функции, удовлетворяющих условию 0<p(M,A)< , выполняется неравенство |f(M)-b|< .

Опр 3 Число b называется предельным значением функции u=f(M) при М (или пределом функции при М ), если для любого положительного числа можно указать такое положительное число а, что для всех М из области задания функции, удовлетворяющих условию p(O,M)>a, выполняется неравенство |f(M)-b|< .

Утверждение: Пусть функции f(M) и g(M) имеют в точке А предельные значения b и с. Тогда функции f(M) + g(M), f(M) - g(M), f(M) * g(M) и f(M)/ g(M) имеют в точке А предельные значения (частное при условии с ), равные соответственно b + с, b - с, b * с, b/ с.

Бесконечно малые функции.

Опр Функция u=f (М) называется бесконечно малой в точке А (при М А), если lim f(M)=0 (M A).

Если функция u=f (М) имеет равное b предельное значение в точке А, то функция (М)=f (М)-b является бесконечно малой в точке А.

Необходимое и достаточное условие существование предельного значения функции (критерий Коши).

Будем говорить, что функция f (М) удовлетворяет в точке М = А условию Коши, если для любого положительного числа найдется положительное число такое, что, каковы бы ни были две точки M^| и M^|| из области задания функции f (М), удовлетворяющие неравенствам 0<p(M^|,A)< , 0< p(M^||,A)< , для соответствующих значений функций справедливо неравенство |f(M^|)-f(M^||)|< .

Справедлива следующая основная теорема:

Теорема 14.2 (критерий Коши). Для того, чтобы функция f (М) имела конечное предельное значение в точке М = А, необходимо и достаточно, чтобы функция f (М) удовлетворяла в этой точке условию Коши.

Док-во: Аналогично док-ву такой же теоремы для функции одной переменной.

Теорема 14.3 Пусть функция u=f (х,у) определена в некоторой прямоугольной окрестности |x-x₀|<d₁, |y-y₀|<d₂ точки M₀(x₀,y₀) и имеет в этой точке предельное значение b. Пусть, кроме того, для любого фиксированного у, 0<|y-y₀|<d_1, существует предельное значение . Тогда повторные предельные значения и существует и равны b.