16. Функции многих переменных. Непрерывность. Свойства непрерывных функций.

Понятие евклидовой плоскости и евклидового пространства.

Множество всевозможных упорядоченных пар (х,у) вещественных чисел х и у называется координатной плоскостью. При этом каждую пар (х,у) будем называть точкой этой плоскости и обозначать буквой М. Числа х и у называются координатами точки М.

Опр Координатная плоскость называется евклидовой плоскостью, если между любыми двумя точками M^I (x^I, y^I) и M^II (x^II, y^II) координатной плоскости определено расстояние p(M^I, M^II) по формуле

p(M^I, M^II)=

Опр Множество всевозможных упорядоченных троек (x, y, z) чисел x, y, z называется координатным пространством.

Опр Координатное пространство называется евклидовым пространством, если между любыми двумя точками M^I (x^I, y^I, z^I) и M^II (x^II, y^II, z^II) координатного пространства определено расстояние по формуле p(M^I, M^II)=

Расстояние определено на евклидовой прямой p(x^|,x^||)= .

Некоторые множества евклидового пространства:

1. Круг : (x-a)²+(y-b)² R², Шар: (x-a)²+(y-b)²+(z-c)² R²

2. Координатный прямоугольник: |x-a| d₁, |y-b| d₂ ; (центр M(a,b))

Координатный параллелепипед: |x-a| d₁, |y-b| d₂ ; |z-c| d₃ ; (центр M(a,b,c))

Понятие m – мерного евклидового пространства и m – мерного координатного пространства.

Множество всевозможных упорядоченных совокупностей (x₁, x₂, …., x_m) m чисел x₁, x₂, …., x_m называется m – мерным координатным пространством.

Координатное пространство А^m называется m –мерным евклидовым пространством E^m, если между любыми двумя точками M^| (x₁^|, x₂^|, …….x_m^|) и M^|| (x₁^||, x₂^||, …….x_m^||) координатного пространства А^m определено расстояние p (M^|, M^||) по формуле (по сути является метрическим пространством (функ.ан.))

p (M^|, M^||)=

Множества точек m – мерного пространства Е^m.

3. m-мерный шар: (x₁-x₁⁰)²+(x₂-x₂⁰)²+……….+(x_m-x_m⁰) R²

4. m-мерный параллелепипед: | x₁-x₁⁰| d₁, | x₂-x₂⁰| d₂, ….. , | x_m-x_m⁰| d_m

Открытый шар и открытый параллелепипед вводятся через строгое неравенство (<).

Опр Будем называть -окрестностью точки M₀(x₁⁰, x₂⁰, …, x_m⁰) m –мерного евклидового пространства E^m открытый m-мерный шар радиуса с центром в точке М₀. Прямоугольной окрестностью точки M₀(x₁⁰, x₂⁰, …, x_m⁰) m –мерного евклидового пространства называется любой открытый m-мерный координатный параллелепипед с центром в точке М₀.

Утверждение: Любая -окрестность точки М₀ евклидова m-мерного пространства Е^m содержит некоторую прямоугольную окрестность этой точки. Любая прямоугольная окрестность точки М₀ содержит некоторую -окрестность точки М₀.

Опр Точка множества называется внутренней точкой этого множества, если существует некоторая -окрестность точки М, все точки которой принадлежат множеству { М } .

Опр Точка М называется граничной точкой множества { М }, если любая -окрестность этой точки содержит как точки, принадлежащие множеству { м }, так и не принадлежащие ему.

Опр Множество { М } пространства E^m называется открытым множеством или областью, если любая точка этого множества внутренняя.

Опр Если каждая граничная точка множества { М } является точкой этого множества, то множество { М } называется замкнутым.

Опр Если множество { М } представляет собой область, то множество { М }, полученное присоединением к { М } всех граничных точек этого множества, называется замкнутой областью.

Опр Если все точки области { М } находятся внутри некоторого шара, то эта область называется ограниченной.

Опр Непрерывной кривой L в пространстве E^m мы будем называть множество { М } точек этого пространства, координаты x₁, x₂, …., x_m которых представляют собой непрерывные функции параметра t: …..,

Мы будем говорить, что точки M^| (x₁^|, x₂^|, … , x_m^|) и M^| (x₁^||, x₂^||, … , x_m^||) пространства E^m можно соединить непрерывной кривой L, если существует такая непрерывная кривая L, определяемая параметрическими уравнениями, что … ,

… ,

Сформулируем понятие связанного множества. Множество { М } пространства E^m называется связным, если две любые его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.

Замечание: Иногда, областью называют открытое и связное, f не просто открытое множество.

Понятие функции m переменных

Если каждой точке М из множества { М } точек m-мерного евклидового пространства E^m ставится в соответствие по известному закону некоторое число u, то говорят, что на множестве { М } задана функция u=u(М) или u=f(М). При этом множество М называется множеством задания функции u=f(М).

Непрерывные функции нескольких переменных.

Пусть точка А принадлежит области задания функции u=f(М) нескольких переменных и любая -окрестность точки А содержит отличные от А точки области задания этой функции.

Опр.1 Функция u=f(М) называется непрерывной в точке А, если предельное значение этой функции в точке А существует и равно частному значению f(А).

Условие непрерывности:

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называется точками разрыва этой функции.

Опр2. Функция u=f(М) называется непрерывной в т.А, если для любого положительного числа можно указать такое положительное число , что для всех точек М из области задания функции, удовлетворяющих условию p(M,A)< , выполняется неравенство | f(M)-f(A) |< .

Опр3 Функция u=f(М) называется непрерывной на множестве {M}, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Назовем приращением или полным приращением функции u=f(М) в точке А функцию u, определяемую формулой

u = f(М) - f(А) (14.5)

где М – любая точка из области задания функции. Пусть точки А и М имеют соответственно координаты a₁, a₂, ……., a_m и х₁, х₂, ……., х_m. Обозначим х₁-а₁ = х₁, х₂-а₂ = х₂, …. , х_m-а_m = х_m. Используя эти обозначения получим для приращения функции u, соответствующего приращениям аргументов х₁, х₂, ……., х_m следующее выражение:

u = f (а₁ + х₁, а₂ + х₂, …….., а_m + х_m) – f (a₁, a₂, …. , a_m). (14.6)

Очевидно, для непрерывности функции u = f (М) в точке А необходимо и достаточно, чтобы ее приращение u представляло собой бесконечно малую в точке А функцию, т.е. необходимо и достаточно, чтобы

lim u= lim ( f(М) – f(A) ) = 0, (М А) или (14.7)

lim u = 0 ( x₁ 0, x₂ 0, ……., x_m 0 )

Условие (14.7) будем называть разностной формой условия непрерывности функции u=f(М) в точке А.

Частное приращение: Зафиксируем все аргументы, кроме первого, а первому аргументу придадим произвольное приращение x₁ такое, чтобы точка с координатами x₁ + x₁, x₂, …….., x_m находилась в области задания функции. _х1 u = f (х₁ + х₁, х₂, …….., х_m) - f (х₁, х₂, …….., х_m) (14.8) Аналогично определяются частные приращения функции, соответствующие приращениям других аргументов.

Непрерывность функции по одной из переменных:

Функция u = f (x₁, x₂, …….., x_m) называется непрерывной в точке М(x₁, x₂, …….., x_m) по переменной х_k, если частное приращение и этой функции в точке М представляет собой бесконечно малую функцию от , т.е. если lim ( u) = 0, . При фиксированных значениях функции, кроме x_k, функция u = f (х₁, х₂, …, х_m) представляет собой функцию одной переменной. Отметим, что из непрерывности функции u = f (х₁, х₂, …, х_m) в данной точке М по каждой из переменных х₁, х₂, …, х_m. Однако из непрерывности функции в точке М по каждой их переменных х₁, х₂, …, х_m не вытекает, вообще говоря, непрерывность функции в этой точке.

Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных.

1. Арифметические операции над непрерывными функциями.

Пусть функции f (M) и g (M) непрерывны в точке А. Тогда функции f (M) + g (M), f (M) - g (M), f (M) * g (M), f (M) / g (M) непрерывны в точке А (частное при условии g(А) 0 ).

Док-во: аналогично теореме 4.2 (о пределах числовых последовательностей ).

2. Непрерывность сложной функции. Введем понятие сложной функции. Пусть функции :

заданы на множестве { N } евклидова пространства E^k ( -координаты точек в этом пространстве ).

Пусть функции ……., непрерывны в точке в точке A (a₁, а₂, ……, а_k), а функция u=f (x₁, x₂, ….¸x_m) непрерывна в точке B (b₁, b₂, ……, b_m), где b_i= ( a₁, а₂, ……, а_k), i=1,2,.,m. Тогда сложная функция u=f (x₁, x₂, ….¸x_m), где x₁, x₂, ….¸x_m представляет собой определенные выше функции аргументов непрерывна в точке А (a₁, а₂, ……, а_k).

Теорема 14.4 Об устойчивости знака непрерывной функции

Если функция u=f(М) непрерывна в точке А евклидова пространства E^m и если f(A) 0, то существует такая - окрестность точки А, в пределах которой во всех точках области своего задания f(M) не обращается в нуль и имеет знак, совпадающий со знаком f(М).

Теорема 14.5 О прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение.

Пусть функция u=f(М) непрерывна во всех точках связанного множества { М } евклидова пространства E^m, причем f(А) и f(В) – значения этой функции в точках А и В этого множества. Пусть, далее, С – любое число, заключенное между f(А) и f(В). Тогда на любой непрерывной кривой L, соединяющей точки А и В и целиком располагающейся в { М }, найдется точка N такая, что f (N) = С.

Док-во: Пусть x₁= ₁(t), x₂= ₂(t), …., x_m= _m(t),

- уравнения непрерывной кривой L, соединяющей точки А и В множества { М } и целиком располагающейся в { М } . На сегменте [ ] определена сложная функция u=f(х₁, x_{2, …}x_m), где x_i = _I (t), i=1, 2, …, m, . Очевидно, значение этой функции на сегменте [ ] совпадают со значениями функции u=f (М) на кривой Д. Указанная сложная функция одной переменной t, в силу утверждения 2 (см. выше), непрерывна на сегменте [ ] и, согласно теореме 8.6 { f(a)=A, f(b)=B на [a,b] функция непрерывна. Есть С – между А и В. Тогда на [a,b] найдется , такая что f( ) = C }, в некоторой точке сегмента [ ] принимает значение С. Поэтому в точке N кривой L с координатами справедливо равенство f(N) = С. Теорема доказана.

5. Теорема 14.6 (Первая теорема Вейерштрасса). Если функция u=f (М) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве { М }, то она ограничена на этом множестве .

Док-во: Остановимся на док-ве ограниченности u = f (М) сверху. Предположим, что u = f (М) не ограничена сверху на { М }. Выделим последовательность { М_n } точек множества { М }, для которых f (M_n)>n. В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из { М_n } можно выделить сходящуюся подпоследовательность { M_kn }, предел М которой, в силу замечания к теореме Больцано-Вейерштрасса, принадлежит множеству { М }. Очевидно, последовательность { f (M_kn) } бесконечно большая. С другой стороны, в силу непрерывности функции в точке М, эта последовательность { f (M_kn) } должна сходится к f (М). Полученное противоречие доказывает теорему.

6. Теорема 14.7 (вторая теорема Больцано-Вейерштрасса). Если функция u = f (М) непрерывна на замкнутом ограниченном { М }, то она достигает на этом множестве своих точных верхней и нижней граней.

Док-во: аналогично док-ву этой же теоремы для функций одной переменной.

7. Понятие о равномерной непрерывности.

Опр Функция u = f (М) называется равномерно непрерывной на множестве { М } евклидова пространства E^m, если для любого положительного числа можно указать такое положительное , зависящее только от , что для любых двух точек М^| и M^|| множества { М }, удовлетворяющих условию p (М^| , M^||) < , выполняется неравенство | f (M^||) – f (M^|) |< . Имеет место следующая теорема:

Теорема 14.8 (теорема о равномерной непрерывности ). Непрерывная на замкнутом множестве { М } функция равномерно непрерывна на этом множестве.

Док-во: совершенно аналогично док-ву теоремы 10.2 (такая же теорема для функции одной переменной) и получается из него путем замены термина «сегмент [a,b]» термином «множество { М } » , замены буквы х на М и замены выражений типа |x^||-x^|| на символ p (М^| , M^||).

Опр Диаметром ограниченного множества { М } точную верхнюю грань чисел p (М^| , M^||), где М^| и M^|| - всевозможные точки множества { М }.

Свойство: Пусть функция u = f (М) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве { М }. Тогда для любого положительного числа можно указать такое >0, что на каждом принадлежащем множеству { М } замкнутом подмножестве { }, диаметр которого меньше , колебание функции f (М) меньше .