12. Экстремум функции одной переменной. Необходимые и достаточные условия экстремума.

Опр. Функция называется дифференцируемой в данной точке , если приращение этой функции в точке , соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде , (9)

где - некоторое число, не зависящее от , а – функция аргумента , являющаяся бесконечно малой при .

Заметим, что функция ( ) может принимать в точке =0 какое угодно значение. Ради определенности можно положить (0)=0 (при этом частное значение функции ( ) в точке =0 будет совпадать с ее предельным значением в этой точке).

Так как произведение двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем , т.е. =0( ), то формулу (9) можно переписать в виде .

Пусть функция определена всюду в некоторой окрестности точки .

Опр. Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность точки , в пределах которой значение является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этой функции.

На рис.1 изображена функция , имеющая локальный максимум в точке .

Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум.

Теоремы0( о достаточном условии возрастания (убывания) функции в точке ): если функция дифференцируема в точке и , то эта функция возрастает (убывает) в точке .

Опр. Говорят, что функция возрастает (убывает) в точке , если найдется такая окрестность точки , в пределах которой при и при ( при и при ).

Установим необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

Теорема1. Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то .

Доказательство. Так как функция имеет локальный экстремум в точке , то не может в этой точке ни возрастать, ни убывать. Стало быть, в силу теоремы0 производная не может быть ни положительна, ни отрицательна, т.е. .

Теорема1 имеет простой геометрический смысл: она утверждает, что если в точке кривой , которой соответствует локальный экстремум функции , существует касательная параллельно оси (рис.1). касательная

- рис.1

Таким образом, для отыскания у дифференцируемой функции точек возможного экстремума следует найти все корни уравнения (т.е. найти все нули производной ). Впредь мы будем называть корни уравнения точками возможного экстремума функции (иногда корни уравнения называются стационарными точками).

• Первое достаточное условие экстремума

Теорема2. Пусть точка является точкой возможного экстремума функции , и пусть функция дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах указанной окрестности производная положительна (отрицательна) слева от точки и отрицательна (положительна) справа от точки , то функция имеет в точке локальный максимум (минимум). Если же имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то экстремума в точке нет.

Доказательство. 1) Пусть сначала производная в пределах рассматриваемой окрестности положительна (отрицательна) слева от и отрицательна (положительна) справа от . Требуется доказать, что значение является наибольшим (наименьшим) среди всех значений в рассматриваемой окрестности. Обозначим любое значение аргумента из рассматриваемой окрестности, отличное от . Достаточно доказать, что .

Функция дифференцируема (а столь быть, и непрерывна) на сегменте . Применяя к по сегменту теорему Лагранжа (см. 4 вопрос), будем иметь

, (10)

где – некоторое значение аргумента между и . Поскольку производная положительна (отрицательна) при < и отрицательна (положительна) при > , правая часть (10) положительна (отрицательна).

2) Пусть теперь производная имеет один и тот же знак слева и справа от . Обозначая, как выше, через любое значение аргумента, отличное от , и повторяя проведение выше рассуждения, мы теперь докажем, что правая часть (10) имеет разные знаки при < и при > . Это отсутствие экстремума в точке .

Вытекающее из теоремы2 правило можно кратко сформулировать так: 1) если при переходе через данную точку возможного экстремума производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция имеет в точке локальный максимум (минимум); 2) если же при переходе через данную точку возможного экстремума производная не меняет знака, то экстремума в точке нет.

Примеры. 1) Предполагая, что консервная банка имеет форму круглого цилиндра радиуса r и высоты h, определитель, при каком соотношении между r и h консервная банка с постоянной площадью полной поверхности имеет наибольший объем.

Обозначим площадь полной поверхности консервной банки через S. Тогда

. (11)

Из этого равенства находим, что .

Таким образом, мы можем выразить объем V консервной банки как функцию радиуса r: . Задача сведена к отысканию максимума функции . Приравнивая к нулю производную и учитывая, что r<0, находим точку возможного экстремума

. (12)

Хотя по смыслу задача и ясно, что единственная точка возможного экстремума является точкой максимума функции V(r), мы можем строго убедиться в этом, используя теорему1 и замечая, что производная положительна при и отрицательна при . Установим теперь, при каком соотношении между радиусом r и высотой h реализуется наибольший объем V(r) консервной банки. Для этого равенство (11) на r² и в правой части полученного при этом равенства воспользуемся соотношением (12). При этом получим h/r=2, т.е. h=2r.

Таким образом, наибольший объем будет у той консервной банки, у которой высота равна диаметру.

2) Найти точки экстремума функции . Поскольку , то единственной точкой возможного экстремума является точкой x=2.

Так как положительна, как слева, так и справа от этой точки, то функция вовсе не имеет точек экстремума.

• Второе достаточное условие экстремума.

Иногда вызывает затруднение исследование знака первой производной слева и справа от точки возможного экстремума. На этот случай мы укажем другое достаточное условие наличия экстремума в данной точке возможного экстремума, не требующее исследования знака в окрестности , но зато предполагающее существование в точке отличной от нуля конечной второй производной .

Теорема3. Пусть функция имеет в данной точке возможного экстремума конечную вторую производную. Тогда функция имеет в точке максимум, если <0, и минимум, если >0.

Доказательство. Из условия <0 ( >0) и из теоремы0 вытекает, что функция убывает (возрастает) в точке . Поскольку по условию , то найдется такая окрестность точки , в пределах которой положительна (отрицательна) слева от и отрицательна (положительна)справа от . Но тогда по предыдущей теореме имеет в точке максимум (минимум).

Замечание.Теорема3 имеет более узкую сферу действия, чем теорема2. Так, теорема3 не решает вопроса об экстремуме для случая, когда вторая производная не существует в точке , а также для случая, когда =0. В последнем случае для решения вопроса о наличии экстремума нужно изучить поведение в точке производных высших порядков.

Пример. Найти экстремальные значения функции . Так как , то функция имеет две точки возможного экстремума: и . Поскольку знак слева и справа от этих точек легко выясняется, можно решить вопрос об экстремуме при помощи теоремы2 (первого достаточного условия). Но мы предпочитаем привлечь теорему3 ( второе достаточное условие). Имеет

.Таким образом, функция имеет максимум в точке 0 и минимум в точке 2. Экстремальные значения этой функции равны