Примеры исследования функции на экстремум.

1. Найти точки локального экстремума функции переменных

, (34)

где – отличное от нуля вещественное число.

Для отыскания точек возможного экстремума получаем следующие уравнения:

. (35)

Из уравнений (35) заключаем, что единственной точкой возможного экстремума является точка (0, 1, …, -1). Чтобы исследовать функцию (34) в этой точке с помощью достаточных условий экстремума, вычислим второй дифференциал (36)

Очевидно, что при все значения второго дифференциала (36) при , одновременно не равных нулю, являются строго положительными, т.е. второй дифференциал (36) представляет собой положительно определенную квадратичную форму. Поэтому при функция (34) имеет в точке (0, 1, …, -1) локальный минимум.

При второй дифференциал (36) положителен при и отрицателен при . Это означает, что при второй дифференциал (36) представляет собой знакопеременную квадратичную форму. Поэтому при функция (34) не имеет в точке (0, 1, …, -1) локального экстремума.

2.На плоскости даны точек , в которых сосредоточены массы .

Требуется найти на этой плоскости точку такую, относительно которой момент инерции указанной системы материальных точек является минимальным.

Так как момент инерции указанной системы материальных точек относительно точки равен , (37)то задача сводится к отысканию точки , в которой функция (37) достигает своего минимального значения.

Для отыскания точек возможного экстремума функции (37) получаем следующие уравнения

, .(38)

Из уравнений (38) заключаем, что единственной точкой возможного экстремума функции (37) является точка , координаты которой равны

, . (39)

Так как , то функция (37) имеет локальный минимум в точке , с координатами (39). Легко убедиться, что значение в этой точке является минимальным. Заметим в заключение, что формулы (39) определяют координаты центра тяжести рассматриваемой системы материальных точек.

20. Формула Тейлора для функции одной и многих переменных.

Если функция многих переменных имеет достаточное число непрерывных производных в окрестности некоторой точки, то эту функцию в указанной окрестности оказывается возможным представить в виде суммы некоторого многочлена и остатка, который мал в том или ином смысле.

Теорема1.Пусть функция z=f(x,y) определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными до порядка m включительно в δ-окрестности точки (xо,yo); тогда при ∆х, ∆у таких, что ρ=√∆х²+∆у²< δ, справедлива формула.

∆z=f(xo+∆х,yo+∆у)-f(xo,yo)= +

+ +

+ +…+

или короче

, (1)

где , 0<θ<1 (2)

Формула (1) называется формулой Тейлора (порядка m-1) для функции f, функция - ее остаточным членом, а его запись в виде (2) называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа.

◄Пусть ∆х и ∆у зафиксированы так, что ρ=√∆х²+∆у²< δ ; тогда точки вида , где 0≤t≤1, лежит на отрезке, соединяющем точки (хо,уо) и (хо+ ∆х , уо+∆у), и поэтому все принадлежит δ-окрестности точки (хо,уо) . Поэтому имеет смысл суперпозиции функций z=f(x,y) и x=xo+t∆х, y=yo+∆у, 0≤t≤1, т.е сложная функция F(t)=f , 0≤t≤1 (3)

Очевидно, что ∆z=f(xo+∆х,yo+∆у)-f(хо,уо)=F(1)-F(0) (4)

Поскольку функция имеет в δ-окрестности точки (хо,уо) m непрерывных частных производных, то, согласно теореме о производных сложных функций, функция F имеет на отрезке [0,1] m непрерывных производных, и поютому для нее справедлива формула Тейлора порядка m-1 с остаточным членом в форме Лагранжа:

, 0<θ<1 (5)

Выразим производные через производные f(x,y) и положим в формуле (5) t=1, получим требуемую формулу Тейлора для функции f(x,y). Действительно, из (3) следует, что =

= Отсюда для , отпуская для кратности обозначения аргументов, получим

Вообще по индукции легко получить, что

(6),

k=1,2,….,m

Полагая в формулах (6) t=0 при k=1,2,…,m-1, получим

,

вообще

, k=1,2,…,m-1 (7)

При k=m , заменяя t на θt, имеем

(8)

Подставим теперь (7) и (8) в (5) и положим t=1, тогда в силу соотношения (4) получим = =

0<θ<1 ►

Следствие. В предложениях теоремы

(9)

где остаточный член может быть записан в каждом из следующих видов

(10),

где , k=0,1,…,m

или (11)

где , т.е. (12)

(такая запись остаточного члена формулы Тейлора называется его записью в форме Пеано)

Используя понятие дифференциалов высших порядков, формуле Тейлора можно придать более компактную форму, внешне совершенно идентичную формуле Тейлора для функций одного переменного, записанной также с помощью дифференциалов. В самом деле, т.к.

, k=0,1,2,…,m,

то полагая для кратности и

Формулу (9) можно записать в следующем виде:

(13)

Эта формула наиболее проста и удобна для запоминания.

Следует отметить, что предположения, при которых нами доказана формула Тейлора, могут быть несколько ослаблены. Для справедливости формулы Тейлора (1) можно лишь потребовать дифференцируемость в δ-окрестности точки (хо,уо) всех производных порядка m-1. Тогда они, очевидно, будут непрерывными, а все частные производные порядка m-2 дифференцируемыми в указанной окрестности и т.д. Т.о., функция f при данном предположении оказывается m-1 раз непрерывно дифференцируемой в окрестности точки (хо,уо). Из предположения дифференцируемости по правилу дифференцирования сложной функции, если их аргументы, как и в (3) линейно зависят от t. Поэтому приведенное ниже доказательство формулы Тейлора полностью сохраняется и для этого случая.

Формулу (1) можно несколько обобщить и в другом смысле: не требовать, чтобы функция f была определена во всех точках (хо,уо), а рассматривать эту формулу лишь при фиксированных ∆х, ∆у. Именно если функция f определена и имеет дифференцируемые частные производные до порядка m-1 включительно в каждой точке отрезка с концами в точках (хо,уо) и (хо+∆х,уо+∆у), то формула (1) также остается справедливой вместе с доказательством.

Из всего сказанного следует, что если функция f определена в выпуклой области G и имеет в G дифференцируемые частные производные порядка m-1, то для любых двух точек (хо,уо)€G и (хо+∆х,уо+∆у) €G имеет место формула Тейлора (1).

Для справедливости формулы (9), кроме дифференцируемости частных производных порядка m-1 в окрестности точки (хо,уо), достаточно лишь потребовать, чтобы производные порядка m были непрерывны только в точке (хо,уо).

Мы не стали всего этого сразу оговаривать, для простоты формулировок и доказательства теоремы 1 и ее следствия.

Подчеркнем еще, что в формуле (9) не в смысле предела по любому фиксированному направлению, как может показаться на первый взгляд из приведенного доказательства, а в более сильном смысле предела в точке (хо,уо).

Теорема 1` Если функция n переменных определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными до порядка m включительно в некоторой окрестности точки , то справедлива формула

=

= , (14)

где ,

0<θ<1, ∆x=(∆x1,…., ∆xn (15)

а также формула

(16)

где можно записать в каждом из следующих видов:

либо (17)

где ,

либо , (18)

т.е. ,ρ→0

Наконец, через дифференциалы формулу (16) можно записать в следующем виде:

(19)

Раскроем скобки в формулах (14) и (15) , воспользовавшись алгебраической формулой

Для того чтобы короче записать результат, введем новые обозначения. Положим

, ,

В этих обозначениях формула Тейлора (14) с остаточным членом в виде (15) перепишется в виде:

здесь как всегда , ,

и

В этом виде формула Тейлора для функций любого числа переменных формально выглядит так же, как и для случая функции одного переменного.