34. Функции комплексного переменного. Предел функции. Непрерывность.

Комплексным числом z называется выражение вида , где x и y – любые действительные числа, а i – мнимая единица, удовлетворяющая условию . Числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются .

Комплексное число называется сопряженным комплексному числу .

Комплексные числа и cчитаются равными тогда и только тогда, когда , .

Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число .

Разностью двух комплексных чисел и называется комплексное число .

Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число .

Частным от деления комплексного числа на комплексное число называется такое комплексное число z, которое удовлетворяет уравнению , т.е. .

Говорят, что на множестве задана функция , если задан закон, по которому каждой точке ставится в соответствие одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений .

Пусть и . Тогда задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций действительных переменных , .

Пример 1.

Найти действительную и мнимую части функции .

Решение.

Полагая , , получим

.

Следовательно, - действительная часть,

- мнимая часть функции .

Пример 2.

В какую кривую отображается окружность с помощью функции .

Решение.

Зададим окружность с помощью полярных координат: , . Тогда, , т.е. , . Значит, образом окружности в плоскости z будет окружность в плоскости w, проходимая дважды.

Элементарные функции комплексного переменного.

1. Дробно-рациональная функция

.

2. Показательная функция комплексного переменного задается формулой:

.

Показательная функция обладает следующими свойствами:

1. , где и - любые комплексные числа;

2. , т.е показательная функция является периодической с чисто мнимым периодом .

2. Тригонометрические функции и определяются формулами:

, .

Функции и - периодические с действительным периодом и имеют только действительные нули

и , соответственно.

Функции и определяются равенствами :

, .

Для тригонометрических функций комплексного переменного остаются в силе все известные формулы тригонометрии.

2. Гиперболические функции , , , определяются равенствами :

, , , .

Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой следующими соотношениями:

, , , ,

, , , .

2. Логарифмическая функция , , определяется как функция, обратная к показательной, причем

, .

Эта функция является многозначной. Главным значением называется то , которое получается при и обозначается

.

Очевидно,

, .

Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:

,

.

2. Обратные тригонометрические функции , , , определяются как функции, обратные соответственно к функциям . Так , если , то называется арксинусом числа и обозначается . Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмические:

,

,

,

.

Главные значения обратных тригонометрических функций , , , получаются, если брать главные значения соответствующих логарифмических функций.

2. Общая степенная функция , где - любое комплексное число, определяется соотношением

.

Эта функция многозначная, ее главное значение .

2. Общая показательная функция , где - любое комплексное число, определяется равенством

.

Главное значение этой функции .

Пример 1.

Найти значение модуля функции в точке .

Решение.

Так как , то

.

Тогда

= .

Полагая , найдем

.

Как видим, тригонометрическая функция комплексного переменного может принимает значения, по модулю большие единицы.