10. Дифференцируемость функции в точке. Функции, дифференцируемые на интервале и их свойства: Теоремы, Роля, Лагранжа.

Дифференцируемость функции в точке

Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a,b), x-некоторая фиксированное значение аргумента из указанного интервала, x-любое приращение аргумента.

Опр. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в данной точке x, если приращение y этой функции в точке x, соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде y=A x + x, где А - некоторое число, не зависящее от x, а - функция аргумента x, является бесконечно малой при x 0.

Теорема. Для того чтобы функция y=f(x) являлась дифференцируемой в данной точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Док-во: 1) Необходимость: пусть функция y=f(x) дифференцируема в данной точке x, то есть ее приращение y в этой точке представимо в виде y=A x + x. Предположив, что x#0 поделим это равенство на x. Получим =A+ . Из этого равенства вытекает существование производной, т.е. lim( x 0) =A

2) Достаточность: пусть функция y=f(x) имеет в данной точке x конечную производную, т.е. существует предельное значение lim( x 0) = f ’(x)

В силу определения предельного значения функция = - f’’(x) аргумента x является бесконечно малой при x 0, т.е. y= f’’(x) x + x, где lim( x 0) =0. Это представление совпадает с представлением y=A x + x, если обозначать через А не зависящее от x число f’’(x). Т.е. функция y=f(x) дифференцируема в точке x.

Теорема. Если каждая из функций u(x) и v(x) дифференцируема в данной точке x, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в этой точке:

[ u(x) ]’ = u’(x) v’(x),

[u(x) v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x),

Опр. Функция y=f(x) называется дифференцируемой на интервале, если она дифференцируема во всех внутренних точках этого интервала.

Теорема Ферма. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке c и имеет в этой точке локальный экстремум, то f ’(c)=0.

Опр. локального max(min): Говорят, что функция y=f(x) имеет в точке c локальный max(min), если найдется такая окрестность точки с, в пределах которой значение f(с) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этих функций.

Док-во: По условию теоремы существует конечная производная f ‘(с). Так как функция y=f(x) имеет в точке с локальный экстремум, то она не может в этой точке с не возрастать, ни убывать. Значит в силу леммы о достаточном условии возрастания и убывания функции в точке ( Если функция y=f(x) дифференцируема в точке с и f ’(c) >0 ( f ‘(c)<0 ), то функция y=f(x) возрастает (убывает) в точке с ), f ‘(c) не может быть ни положительной, ни отрицательной. Следовательно, f ‘(c)=0. ч.

Геометрически теорема Ферма утверждает, что если в той точке кривой y=f(x), в которой достигается локальный экстремум, существует касательная к этой кривой, то эта касательная обязательно параллельна оси Оx.

Опр., которые встречаются в теореме Ролля:

Опр непрерывности: Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если предельное значение этой функции в точке а существует и равно частному значению f(a).

Опр производной функции: Производная функции y=f(x) в данной фиксированной точке x называется предел при x 0 разностного отношения

(при условии, что этот предел существует).

Опр: Функция f(x) называется ограниченной сверху(снизу), на множестве {x}, если найдется такое вещественное число М(число m), что для всех значений аргумента x на множестве {x} справедливо неравенство: f(x) M (f(x) m) при этом М - верхняя грань (m-нижняя грань) функции f(x).

Теорема Ролля ( теорема о нуле производной ). Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента. Пусть f(a)=f(b), тогда внутри сегмента найдется такая точка ζ , которая принадлежит сегменту [a,b], такая что f ‘(ζ)=0. Так как функция f(x) непрерывна на [a,b], то эта функция достигает своего максимального М и минимального m значения.

Док-во: Так как функция f(x) непрерывна на [a,b], то эта функция достигает своего максимального М и минимального m значения, следовательно, М и m (а,b). Возможны два случая:

1) М=m. f(x)=M=m=const для любого x (а,b) f ‘(x)=0

2) М>m так как f(a)=f(b), можно утверждать, что хотя бы одно из них (М или m) достигается функцией в некоторой внутренней точке ζ , т.е. ζ : М=f(x)=f ‘(x)=0. ч.т.д.

Теорема Лагранжа. Пусть f(x) непрерывна и дифференцируема на [a,b]. Тогда ζ [a,b]: f(b)-f(a)=f ‘(ζ)(b-a) во всех внутренних точках сегмента [a,b]

Док-во: Рассмотрим на сегменте [a,b] следующую вспомогательную функцию:

- (1)

Проверим, что для нее выполнены все условия теоремы Роля. В самом деле F(x) непрерывно на сегменте [a,b] ( как разность функций f(x) и линейной функции) и во всех внутренних точках сегмента имеет производную, равную , очевидно, что F(a)=F(b)=0 (из (1)). Из теоремы Роля внутри сегмента [a,b] найдется точка ζ такая, что . Из этого равенства вытекает формула Лагранжа f(b)-f(a)=f ‘(ζ)(b-a)