- •Оглавление (пример)
- •Тепловая схема с теплообменом с боковой поверхности
- •2. Одномерный составной стержень, с теплообменом с боковой поверхности с внутренним источником теплоты
- •3. Нестационарный процесс распределения температур в однородном стержневом элементе
- •Двумерная пластина с теплообменом со средой
- •5. Составной стержневой термодинамический элемент
- •6. Двумерное растекание теплоты на границе двух материалов
- •7. Двумерное растекание теплоты в области со сложной границей
- •8. Нестационарный процесс распределения температур в однородном стержневом элементе
- •10. Нестационарный процесс распределения температур в однородном стержневом элементе
- •11. Тепловая схема составного стержня
- •Нестационарный процесс распределения температур в однородном стержневом элементе
- •13. Тепловая схема однородного стержня
- •14.Однородный стержневой элемент, теплоизолированный с боковой поверхности.
- •15. Однородный стержневой элемент, теплоизолированный с боковой поверхности
- •Список использованной литературы
8. Нестационарный процесс распределения температур в однородном стержневом элементе
Рассмотрим одномерный стержневой элемент, теплоизолированный с боковой поверхности. Поперечное сечение стержня мало, поэтому можно пренебречь изменением температуры по его сечению. В этом случае, температурное поле стержня является одномерным и изменяется только по оси x, направленной по длине стержня.
Постановка задачи.
Зададим граничные условия 3 рода, т.е. на границах стержня происходит теплообмен со средой. Для решения задачи примем следующие начальные данные:
материал стержня – сталь;
температура среды и коэффициент теплоотдачи со стороны левой границы стержня равны: Та1=100 0С и α1=4000 Вт/м2 0С, со стороны правой – Та2=200С и α2=500 Вт/м2 0С;
длина стержня L = 0,09 м;
коэффициент теплопроводности материала стержня λ = 50 Вт/м 0С;
площадь поперечного сечения A = 3,14∙10-4 м2;
плотность стали ρ = 7800 кг/м3;
теплоемкость с=460 Дж/кг0С;
расстояние h между узлами равно 0,01 м.
Решение задачи.
Разобьем длину стержня сечениями перпендикулярными оси x на 10 конечных объемов длиной h=0.01м. Соответствующая тепловая схема приведена на рис.3.9. В центре каждого объема поместим по одному узлу, при этом номер узла совпадает с номером объема. Пронумеруем узлы тепловой схемы так, как показано на рис.3.9 от узла 1 (на левом торце стержня) до узла 10 (на правом торце стержня).
а)
б)
Рисунок 8. Стержень, теплоизолированный с боковой поверхности (а) и его тепловая схема (б)
Составим матрицу инциденции A, которая в рассматриваемом примере имеет размерность 10*11:
(36)
Матрица проводимостей (36) G имеет размерность 11*11, является диагональной:
(37)
Матрица теплоемкостей C имеет размерность 10*10, является диагональной и ее диагональные элементы равны:
, (38)
где A – площадь сечения стержня, м2;
ρ – плотность стали, кг/м3;
с – теплоемкость стали;
h – расстояние между границами объема, м.
Строим матрицу C:
(39)
Вектор-столбец Ta известных температур среды равен:
(40)
Матрично-топологическое уравнение тепловой схемы относительно вектора неизвестных температур в узлах схемы
имеет вид:
(41)
Уравнение (41) является матричным дифференциальным уравнением в обыкновенных производных и описывает нестационарные температуры в узлах тепловой схемы.
Примем начальные температуры в узлах равными 00С, т.е.
Рассмотрим решение нестационарного матричного уравнения
(42)
где H(t) – положительно определенная матрица для всех t ≥ 0 и равна ;
с начальным условием
T(0)=T0, (43)
Для решения нестационарного матричного уравнения (41) с начальным условием (43) используем явный метод Эйлера. Явный метод Эйлера приводит к итерационной процедуре:
(44)
где m – номер итерации;
τ – шаг по времени;
E – диагональная единичная матрица.
Диагональная единичная матрица E, имеющая размерность 10*10 равна
В явном методе Эйлера значение вектора-столбца температуры Tm в следующий момент времени tm находится пересчетом по формуле (44) на основании известного значения температуры Tm-1 в предыдущий момент времени tm-1.
Зададим дополнительные условия для решения задачи:
шаг по времени τ = 2;
максимальное время M = 100 с.;
условие m…M.
Подставив все известные величины в уравнение (44), найдем температуры в узлах через 1с., 40с., и 100 с.:
.
Рисунок 9. График зависимости температуры от безразмерной координаты в моменты времени через 1, 40 и 100 с.
9. Двумерная пластина с теплообменом с поверхности в среду Рассмотрим двумерную пластину, пренебрегем изменением температуры по ее толщине. В этом случае, температурное поле пластины является двумерным и изменяется только по оси х и у.
Зададим граничные условия 3 рода, т.е. на границах пластины происходит теплообмен со средой. Для решения задачи примем следующие начальные данные:
температуры сред и коэффициенты теплоотдачи со сторон границ пластины соответственно равны: Та1=400 0С, Та2=50 0С, Та3=500 0С, Та4=60 0С,α1=3000 Вт/м2 0С, α2=60 Вт/м2 0С, α3=100 Вт/м2 0С, α4=2000 Вт/м2 0С;
длина пластины L равна 80 мм;
теплопроводности материалов λ1 = 50 Вт/м 0С, λ2 =30 Вт/м 0С,
λ3 = 390 Вт/м 0С, λ4 = 400 Вт/м 0С;
А0=0.0004 м2 ;
а) Та4
У4 У7 У10
У1 1 У2 2 У5 3 У8
R1 R2
R3 R4 R5
λ1 λ3
б)
g1 g2 g5 g8
g3 g6 g9
g12 g14
g11 g16
g13 g15 g17
g18 g19 g21 g23
g20 g22 g24
Рисунок 4. Двумерная пластина (а) и ее тепловая схема (б)
Рассмотрим баланс потока теплоты в i-ом выделенном объеме, воспользовавшись интегральным уравнением теплового баланса
(20)
где Vi = A∆xi – объем i-го элемента;
Si- площадь всей поверхности выделенного i -го объема. Индекс i относит рассматриваемые переменные к i-му выделенному объему.
Поверхностный интеграл в левой части уравнения (3.3.1) выражает суммарный тепловой поток, пересекающий поверхность выделенного i-ro объема. Так как, рассматриваемая задача является стационарной, т.е. dT/dt =0
Уравнения теплового баланса, записанные для узлов тепловой схемы, имеют вид:
где R – тепловые сопротивления выделенных объемов между узлами и рассчитываются и соответствуют кондуктивной проводимости
А на границе материалов тепловые сопротивления рассчитываются как ,где λi и λg-коэффициенты теплопроводности граничащих материалов.
Конвективные тепловые проводимости, которые входят в ветви .
Соответственно тепловые проводимости равны
g1=1.2; g2=0.5; g3=0.5; g4=0.024; g5=0.3; g6=0.4; g7=0.024; g8=0.04; g9=0.3; g10=0.024; g11=1.2; g12=2.2; g13=3.9; g14=1.15; g15=2.95; g16=0.04; g17=2; g18=1.2; g19=3.9; g20=0.8; g21=2; g22=0.8; g23=0.04; g24=0.8
В стационарном случае, вектор-столбец температур Т описывается матричным уравнением, при , т.е.
(21)
Введя вектор-столбец тепловых потоков ветвей J=||J1 J2 J3 J4 J5 …… J24||Т, систему уравнений можно записать в матричном виде
AJ=0 (22)
Матрица A называется матрицей инциденций, для рассматриваемого случая имеет размерность 9*24 и равна:
Она получается путем сложения по горизонтали отдельных матриц в программе MathCAD с помощью функции augment
АТ – транспонированная матрица А
Уравнение (22) является, по существу, дискретным уравнением баланса тепловых потоков в тепловой схеме. Вид матрицы A нетрудно понять. Строки матрицы соответствуют узлам графа, а столбцы матрицы соответствуют ветвям графа, причем номер столбца равен номеру ветви в тепловой схеме.
Разности температур в ветвях графа можно представить в виде вектора- столбца ΔT:
.
Введя вектор столбец температур узлов графа
(23)
Простым перемножением легко убедится, что вектор-столбец (3.3.6) можно записать в следующем матричном виде:
(24)
(25)
где Та - вектор-столбец известных температур в ветвях. Сравнение матрицы инциденций A и матрицы в соотношении (23) показывает, что последняя матрица является транспонированной по отношению к матрице А, т.е. равна
ΔТ=АТТ (26)
Полученные матрично-топологические соотношения (3.3.4) и (3.3.8) устанавливают связь между тепловыми потоками в ветвях тепловой схемы и преобразование узловых температур в разности температур в ветвях. Матрица инциденций А отображает структуру тепловой схемы.
Матрица А, естественным образом, была получена из системы уравнений баланса тепловых потоков в узлах графа.
Для исчерпывающего описания графа тепловой схемы необходимо располагать соотношениями, связывающими тепловые потоки и разности температур в ветвях графа, в соответствии с элементами схемы, представленными ветвями.
Выше было показано, что тепловой поток Ji в i-ой ветви равен Ji=giΔTi.
Тогда связь векторов-столбцов J и ΔТ может быть записана в следующем матричном виде:
(27)
где G – квадратная матрица проводимостей ветвей размерностью М*М, М – количество ветвей графа.
Матрица проводимостей G формируется следующим образом: если ветвь i представляет собой тепловую проводимость gi (кондуктивную или конвективную), то элемент ii матрицы G равен gi.
Строим матрицу проводимостей G:
Она получается путем сложения по горизонтали отдельных матриц в программе MathCAD с помощью функции augment и сложения по вертикали с помощью функции stack.
Строим новую матричную функцию:
(28)
-вектор –столбец начальных температур в момент времени равный нулю в узлах тепловой схемы.
(29)
Подставляя в уравнение (29) находим искомые температуры в узлах стержневого элемента
Т2=399.6650С
Т3=379.6520С
Т4=426.6760С
Т5=431.8190С
Т6=429.1660С
Т7=435.1150С
Т8=441.0480С
Т9=442.650С
Рисунок 5. График распределения температур полученный в программе MathCAD